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数字信号处理 教学课件 ppt 作者 钱同惠 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计

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    • 1、第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计 6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法,6.1 数字滤波器的基本概念,1. 数字滤波器的分类 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类,可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为:,(6.1.1),(6.1.2),图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性,2数字滤波器的技术要求 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示:,图6.1.2 低通滤波器的技术要求,通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示,通带内允许的最大衰减用p表示,阻带内允许的最小衰减用s表示,p和s分别定义为:,(6.1.3),(6.1.4),如将|H(ej0)|归一化为1,(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成:,(6.1.5),(6.1.6),3. 数字滤波器设计方法概述

      2、 IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类,经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是:先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s),然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。,6.2 模拟滤波器的设计,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟,且有若干典型的模拟滤波器供我们选择,如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等,这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。,图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性,1.模拟低通滤波器的设计指标 及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率,p是通带(=0p)中的最大衰减系数,s是阻带s的最小衰减系数,p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性,可表示成:,(6.2.1),(6.2.2),如果=0处幅度已归一化到1,即|Ha(j0)|=1,p和s表示为 以上技术指标用图6.2.2表示。图中c称为3

      3、dB截止频率,因,(6.2.3),(6.2.4),图6.2.2 低通滤波器的幅度特性,滤波器的技术指标给定后,需要设计一个传输函数Ha(s),希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s,一般滤波器的单位冲激响应为实数,因此,(6.2.5),2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示:,(6.2.6),图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系,将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数:,(6.2.7),此式表明幅度平方函数有2N个极点,极点sk用下式表示:,(6.2.8),图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布,为形成稳定的滤波器,2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s),而右半平面的N个极点构成Ha(s)。 Ha(s)的表示式为,设N=3,极点有6个,它们分别为,取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s):,由于各滤波器的幅频特性不同,为使设计统一,将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化,归一化后的Ha(s)表示为 式中,s/c=j/c。 令=/c,称为归一化频率;令p=j,p称为归一化复变量,这样

      4、归一化巴特沃斯的传输函数为,(6.2.10),(6.2.11),式中,pk为归一化极点,用下式表示: 将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式,得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式,用下式表示:,(6.2.12),将=s代入(6.2.6)式中,再将|Ha(js)|2代入 (6.2.4)式中,得到:,(6.2.14),(6.2.15),由(6.2.14)和(6.2.15)式得到:,令,则N由下式表示:,(6.2.16),用上式求出的N可能有小数部分,应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率c,如果技术指标中没有给出,可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出,由(6.2.14)式得到:,由(6.2.15)式得到:,(6.2.17),(6.2.18),总结以上,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下: (1)根据技术指标p,p,s和s,用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N。 (2)按照(6.2.12)式,求出归一化极点pk,将pk代入(6.2.11)式,得到归一化传输函数Ha(p)。 (3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p),得到实际的滤波器传输函数Ha(

      5、s)。,表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz,通带最大衰减p=2dB,阻带截止频率fs=12kHz,阻带最小衰减s=30dB,按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数N。,(2) 按照(6.2.12)式,其极点为,按照(6.2.11)式,归一化传输函数为,上式分母可以展开成为五阶多项式,或者将共轭极点放在一起,形成因式分解形式。这里不如直接查表6.2.1简单,由N=5,直接查表得到: 极点:-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.0000,式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361,(3) 为将Ha(p)去归一化,先求3dB截止频率c。 按照(6.2.17)式,得到:,将c代入(6.2.18)式,得到:,将p=s/c代入Ha(p)中得到:,我们这里仅介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。图6.2.5分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2()表示:,(6.2.19),图6.2.5 切比雪夫型滤波器

      6、幅频特性,式中,为小于1的正数,表示通带内幅度波动的程度,愈大,波动幅度也愈大。p称为通带截止频率。令=/p,称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式,定义为,当N=0时,C0(x)=1; 当N=1时,C1(x)=x; 当N=2时,C2(x)=2x 21; 当N=3时,C3(x)=4x 33x。 由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1 (x)=2xCN(x)C N-1 (x) (6.2.20),图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。 由图可见: (1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内; (2)当|x|1时,CN(x)是双曲线函数,随x单调上升。,图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线,按照(6.2.19)式,平方幅度函数与三个参数即,p和N有关。其中与通带内允许的波动大小有关,定义允许的通带波纹用下式表示:,(6.2.21),因此,(6.2.22),图6.2.7 切比雪夫型与巴特沃斯低通的A2()曲线,设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示,在s处的A2(s)用(6.2.19)式确定:,(6.2.23),令s=s/

      7、p,由s1,有,(6.2.24),(6.2.25),可以解出,3dB截止频率用c表示,,按照(6.2.19)式,有,通常取c1,因此,上式中仅取正号,得到3dB截止频率计算公式:,(6.2.26),以上p,和N确定后,可以求出滤波器的极点,并确定Ha(p),p=s/p。求解的过程请参考有关资料。下面仅介绍一些有用的结果。 设Ha(s)的极点为si=i+ji,可以证明:,(6.2.23),令s=s/p,由s1,有,(6.2.24),(6.2.25),上式中仅取正号,得到3dB截止频率计算公式:,(6.2.26),设Ha(s)的极点为si=i+ji,可以证明:,(6.2.27),式中,(6.2.28),(6.2.28)式是一个椭圆方程,长半轴为pch(在虚轴上),短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴,可推导出:,(6.2.29),(6.2.30),(6.2.31),图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布,设N=3,平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)。为稳定,用左半平面的极点构成Ha(p),即,(6.2.32),式中c是待定系数。根据幅度平

      8、方函数(6.2.19)式 可导出:c=2 N-1,代入(6.2.32)式,得到归一化的 传输函数为,(6.2.33a),按照以上分析,下面介绍切比雪夫型滤波器设计步骤。 1) 确定技术要求p,p,s和s p是=p时的衰减系数,s是=s时的衰减系数,它们为,去归一化后的传输函数为,(6.2.33b),(6.2.34),(6.2.35),这里p就是前面定义的通带波纹,见(6.2.21)式。归一化频率 2) 求滤波器阶数N和参数 由(6.2.19)式,得到:,将以上两式代入(6.2.34)式和(6.2.35)式,得到:,令,(6.2.36),(6.2.37),这样,先由(6.2.36)式求出k-11,代入(6.2.37)式,求出阶数N,最后取大于等于N的最小整数。 按照(6.2.22)式求,这里p=。 +2=10 0.11 3) 求归一化传输函数Ha(p) 为求Ha(p),先按照(6.2.27)式求出归一化极点pk,k=1,2,:,N。,将极点pk代入(6.2.33)式,得到:,4) 将Ha(p)去归一化,得到实际的Ha(s),即,(6.2.38),(6.2.39),例6.2.2设计低通切比

      9、雪夫滤波器,要求通带截止频率fp=3kHz,通带最大衰减p=0.1dB,阻带截止频率fs=12kHz,阻带最小衰减s=60dB。 解 (1) 滤波器的技术要求:,(2) 求阶数N和:,(3) 求Ha(p):,由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi,代入上式,得到:,(4)将Ha(p)去归一化,得到:,4.模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 为了防止符号混淆,先规定一些符号如下: 1) 低通到高通的频率变换 和之间的关系为 上式即是低通到高通的频率变换公式,如果已知低通G(j),高通H(j)则用下式转换:,(6.2.41),(6.2.40),图6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性,模拟高通滤波器的设计步骤如下: (1)确定高通滤波器的技术指标:通带下限频率p,阻带上限频率s,通带最大衰减p,阻带最小衰减s。 (2)确定相应低通滤波器的设计指标:按照(6.2.40)式,将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率,各项设计指标为: 低通滤波器通带截止频率p=1/p; 低通滤波器阻带截止频率s=1/s; 通带最大衰减仍为p,阻带最小衰减仍为s。,(3)设计归一化低通滤波器G(p)。 (4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照(6.2.40)式,转换成归一化高通H(q),为去归一化,将q=s/c代入H(q)中,得 例6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz,幅度特性单调下降,fp处最大衰减为3dB,阻带最小衰减s=15dB。,(6.2.42),解 高通技术要求: fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB 归一化频率,低通技术要求:, 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器,故, 求模拟高通H(s): 2) 低通到带通的频率变换 低通与带通滤波器的幅度特性如图6.2.10所示。,图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性,表6.2.2 与的对应关系,由

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