信号与系统 教学课件 ppt 作者 张延华 等第4章-傅立叶分析 《信号与系统》书稿-4-9

ThemeGallery PowerTemplate,§4-9 傅立叶变换与傅立叶级数的比较,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,广义傅立叶变换,理解正、负频率的概念,内容安排,4-9-1 傅立叶变换存在的条件,4-9-2 傅立叶变换的收敛及广义傅立叶变换,4-9-3 连续时间傅立叶变换与连续 时间傅立叶级数的比较,4-9-4 正频率和负频率,4-9-1 傅立叶变换存在的条件,如前所述，傅立叶变换是用积分定义的，因此，傅立叶变换 存在的条件实际上就是傅立叶积分存在的条件，即：,式（4-9-2）是傅立叶变换存在的主要条件，但还有其它的约束 条件需要考虑。这些条件与傅立叶级数收敛的狄利克雷（Dirichlet） 条件类似（信号在任何有限的时间区间内必须有有限个极大、极小 值和有限个不连续点）。,（4-9-1）,（4-9-2）,4-9-1 傅立叶变换存在的条件,不过对于工程实践中常用的数学函数而言，确定其傅立叶变换是否存在往往只检验条件（4-9-2）就足够了。 需要指出的是，式（4-9-2）只是傅立叶变换存在的一个充分条件，这就意味着如果满足式（4-9-2），那么函数的傅立叶变换就存在（针对一般数学函数）；但存在傅立叶变换的函数却不一定满足式（4-9-2）。在本章后续部分，我们将会看到一些标准信号不满足式（4-9-2）但从广义函数角度来看仍存在傅里叶变换。,4-9-2 傅立叶变换的收敛及广义傅立叶变换,首先考虑一个简单函数 x(t)=1。它的傅立叶积分为,显然，这个积分不收敛。故严格讲，常数1的傅立叶变换不能用 公式求出。但是，借助逼近的思想，若先求出指数函数,的傅立叶变换，即,4-9-2 傅立叶变换的收敛及广义傅立叶变换,再令,取极限，有,如果,，则极限,上述结果说明当,时指数函数,的连续时间傅立叶变换,时有,当,4-9-2 傅立叶变换的收敛及广义傅立叶变换,这个积分通过查表法或者复平面上的围线积分法（不在本书讨,因此，,覆盖的面积是,，与,无关。所以，在,时常数1的频谱函数是一个在所有,处为零且面积为,的函,处出现的且强度为,的冲激函数。显然，常数 A 的傅立叶变换对为,论范畴）求得为,数。根据冲激函数的定义，这是一个在,（4-9-3）,4-9-2 傅立叶变换的收敛及广义傅立叶变换,指数函数,的傅立叶积分总是收敛的。其中,起收敛因子的作用。这种利用收敛因子计算函数傅立叶变换的思想引出了广义傅立叶变换的概念，并由此将连续时间傅立叶变换推广到一类重要的函数：常数和周期函数。例如，应用欧拉公式，可以直接获得余弦和正弦函数的傅立叶变换对：,和,（4-9-5）,（4-9-4）,4-9-2 傅立叶变换的收敛及广义傅立叶变换,对于傅立叶变换的f形式，通过,并运用冲激函数的尺度,性质，则可得到上述变换的f形式如下：,（4-9-6）,（4-9-7）,（4-9-8）,4-9-3 连续时间傅立叶变换与连续时间傅立叶级数的比较,连续时间傅立叶级数用一组谐波函数（实函数或复函数）的线性组合描述任何有限时间工程信号及无穷时间周期信号。它的复指数形式为,而连续时间傅立叶变换是为描述任意周期和非周期的无穷时间信 号而引入的一种信号运算。它将时域信号描述成用其傅立叶变换加 权后的复数谐波函数的一个积分，即,（4-9-10）,（4-9-11）,4-9-3 连续时间傅立叶变换与连续时间傅立叶级数的比较,上式相当于对一个无穷大区间的复谐波函数的求和，当频率扫过整个频率区间时和式的极限就成为了一个积分。 连续时间傅立叶变换与连续时间傅立叶级数之间的关系，建立在一个非周期信号可以认为是周期无限长的周期信号这一点上的。确切讲就是在一个周期信号的傅立叶级数描述中，随着信号周期 T 的增加，基本频率,或,就减少，成谐波关系的各频率分量在间隔上愈趋接近，当信号周期趋于无穷大时，这些频率分量就形成了一个连续域，从而傅立叶级数的求和式也就变成了一个积分式。,4-9-3 连续时间傅立叶变换与连续时间傅立叶级数的比较,根据定义，连续时间傅立叶级数把信号分解成离散频率点上复指数函数的一个无穷级数，而连续时间傅立叶变换则将信号分解成连续频率区间的复指数函数的无穷项的和（积分）。连续时间傅立叶级数把一个连续时间信号 x(t) 变换成一个离散谐波序列,，而连续时间傅,连续时间傅立叶级数和连续时间傅立叶变换都把时域信号变换到另一个域（即频域），但它们所表现的信号包含的信息不变。,立叶变换则将一个连续时间信号 x(t) 变换成一个连续频率函数,4-9-4 正频率和负频率,当基于连续时间傅立叶级数获得连续时间傅立叶变换之后，其,和频率f ）均有意义，包括负,）。负频率的概念需要特别予以说明，因为傅立叶分析的基本应用就是把一个时域信号表示成频域的谐波信号的和。例如一个基本周期为,的正弦波信号可以用一个适当的谐波 信号对它就像建模，这样容易认为能够唯一准确描述它的数学函数 就是,定义式对于所有频率（包括角频率,（4-9-12）,4-9-4 正频率和负频率,但事实并非如此，因为数学函数,同样能够准确描述它。这里就出现了正频率,（或,）和负频率,除此之外，数学函数,以及,（4-9-13）,（4-9-14）,（4-9-15）,4-9-4 正频率和负频率,也可以准确描述这个信号。如果该信号是一个谐波函数而不是,或,更进一步讲，如果用傅立叶级数的三角函数形式：,对该正弦波信号进行建模，通过比较系数（参见讨论题4-2-5）,不为零外，其它所有,和,均为零；这里,是,的幅度，是针对该正弦信号傅立叶级数展开式中的唯一,余弦函数，则,也具有相同的数,学意义。,可知除了,非零项。,（4-9-16）,4-9-4 正频率和负频率,但它同样不是唯一的，因为,也可以用来对该正弦波信号进行建模，式（4-9-16）和式（4-9-17）具有同样的数学意义。通过以上讨论可知，在数学上负频率和正频率均有意义。但在物理意义上负频率究竟该如何理解呢？下面不妨考察一个以负频率形式描述的谐波信号：,上式显然还可以改写成如下形式：,（4-9-17）,（4-9-18）,（4-9-19）,4-9-4 正频率和负频率,在这个公式中，可以认为该谐波信号和正频率信号,是一样的，只是它的时间被反转了。所以可以说一个负频率谐波信号和对应的时间反转正频率谐波信号是等价的。当沿着时间反 转谐波信号移动时，信号的周期没有发生变化，发生变化的只是 时间的方向。因此，正频率信号与负频率信号具有完全相同的周期 特性，但一般它们的相位特性是不同的。,4-9-4 正频率和负频率,在傅立叶分析的应用中，既可以视信号仅包含正频率（表现为单边频谱），亦可以认为信号同时包含正和负的频率（表现为双边频谱）。具体采用哪种形式要视问题的需要，因为在通信系统、信号分析和控制工程等领域需求不尽相同，有时采用单边频谱有时又用双边频谱。 两者各有所长，例如单边频谱分析方法的物理概念及意义清晰，而双边频谱分析方法则在数学对称性方面具有优势。特别是在运用正、负频率的对称性可以简化某些复杂信号或者系统分析工作的情况下，采用单边谱（正频率）方法往往会增加这种分析工作的复杂性。,