系统建模理论与方法 教学课件 ppt 作者 夏安邦 第4章 时间序列模型

第4章 时间序列模型,4.1 趋势外推模型 4.2 ARMA模型 4.3 CARMA模型 4.4 小结,4.3.2 CARMA模型的结构识别,1.基于残差平方和的结构判别法 2.根据残差序列判定模型结构 3.根据信息量判定模型结构,1.基于残差平方和的结构判别法,用J表示残差的平方和。一般来讲，在残差中包含两种误差：一种是系统误差，认为主要是由模型结构引起的；另一种是随机误差，也就是由干扰引起的误差。那么 J=Js+Jr 式中，Js表示系统误差;Jr表示随机误差。,2.根据残差序列判定模型结构,图4-3 Jm曲线,2.根据残差序列判定模型结构,图4-4 不同阶次模型的残差相关分析图,3.根据信息量判定模型结构,近代的系统辨识理论提出一个观点，认为建模就是从一个模型类之中，选出接近于系统的模型。这是一种符合实际的想法。它允许在残差中存在系统误差，而且认为系统误差也是不可避免的，重要的是模型是否能充分地从样本当中提取有用的信息。当使用信息量准则判定模型的阶次时，可采用极大似然估计的方法，在一定条件下，可以证明极大似然估计与最小二乘法估计等价。,4.3.3 CARMA模型的参数估计,1.无偏性分析 2.协方差函数分析 3.辅助变量法 4.扩充最小二乘法,1.无偏性分析,在公式(4-62)中，由于矩阵中含有随机分量，进行统计分析不很方便，令 xu+ 式中，xu为确定性分量组成的矩阵；为随机分量组成的矩阵。 那么，在推导式(4-62)的过程中的式TnY就可以写成 Txuxu+Txu+Txu+Tn(Txu+T)Y(4-63) 对式(4-63)两边取均值，并近似认为n与相互独立，考虑E()，有 TxuxuE(n)+E(T)E(n)TxuE(Y)+(TY) 或 E(n)(Txuxu)-1TxuE(Y)+(TY)-E(T)E(n) +(Txuxu)-1(TY)-E(T)E(n)(4-64) 从式(4-64)可以看出，一般来讲对于CARMA模型最小二乘法得不到无偏估计，即使噪声为白噪声，也不能肯定参数估计值的无偏性，除非能够证明 (TY)E(T)E(n)(4-65) 然而由于噪声的分布函数不知道，所以很难证明式(4-65)。进一步研究表明，式(4-65)是否成立与参数aj,j=1,2,m的估计值j在计算中的收敛速度有关，当n时，若aj-Ej是1/n的高阶无穷小，那么n是渐进无偏的。,2.协方差函数分析,设噪声(k)的协方差矩阵为 R=EE(1)(1)E(1)(2)E(1)(n)E(2)(1)E(2)(2)E(2)(n)E(n)(1)E(n)(2)E(n)(n) 参数估计误差为 - 那么 covEE(T)-1T(T)-1 (T)-1TR(T)-1(4-66) 从式(4-66)看出，参数估计误差的协方差矩阵并不是Fisher信息矩阵的逆矩阵，因此CARMA模型的最小二乘估计不是有效估计量。采用下面两种方法可以改进参数估计量的特性。,3.辅助变量法,为了消除随机干扰引起的估计误差，构造一个新的变量，使它与噪声不相关，但是与有用信息相关，称之为辅助变量。用辅助变量处理方程式(4-61)，可以得到一个与式(4-62)类似的求解公式，但是新的解法可以得到一个无偏的估计量。 设辅助变量组成矩阵Rn(2m+1)，并且满足条件 ETlimn1nT(4-67) ETlimn1nTH(4-68) 式中，n为数据长度；m为模型阶次；H为非奇异矩阵。 用T左乘式(4-62)的两边，得到 TYT+T(4-69) 用最小二乘法求解式(4-69)确定的参数估计问题，得到的参数估计为 n(T)-1TY(4-70) 其估计误差为 n(T)-1T(4-71) 利用式(4-67)和式(4-68)很容易证明式(4-70)表达的参数估计值的一致性和渐进无偏性。,4.扩充最小二乘法,认为式(4-61)中的有色噪声由自回归模型 (k)=(k)+c1(k-1)+cm(k-m)(4-72) 描述，其中序列(k)为白噪声。把参数c1,c2,cm也放入参数向量中，就构成了扩充最小二乘模型。 使用扩充最小二乘法的关键是估计白噪声序列(k)，可以采用处理AR模型的方法，先估计不含噪声模型参数c1,c2,cm的参数向量 =1，2，,m，b0,b1,bm 然后计算第一次噪声向量的估计值 Y-(4-73) 式中，是由噪声估计值序列(k),k=1,2,n构成的向量。 建立模型 y(k)=T(k)+(k)(4-74) 式中，a1,a2,am,b0,b1,bm,c1,c2,cm T(k)=-y(k-1),-y(k-m),u(k),u(k-m),(k-1),(k-m) 用最小二乘法求解式(4-74)的模型参数，得到第一次参数估计值1以后，利用式(4-73)对噪声进行新的估计，得到，再不是利用式(4-74)求解第二次模型参数估计值，然后再利用式(4-73)估计噪声，如此继续下去，一直到达到指定的精度为止。,4.4 小结,随着时间的变化，研究对象的可量化数据一定能构成时间序列，在影响因素不明确或者无法得到量化的样本时，利用来自于研究对象的样本构成的时间序列建立模型可能是唯一的，也是最后的选择。所以，时间序列的建模方法是建模人员的基本工具，如果这个方法失败，很可能意味着本书讨论的建模理论不能支持对于所研究对象的建模。 时间序列分析的建模前提是把研究对象随时间的变化规律视为随机过程，或者它被随机过程所干扰而表现出随机的特征。趋势外推模型的建模目标是利用准则函数排除随机干扰，把研究对象随时间的变化规律找出来。时间序列分析是认为研究对象本身是一个随机过程，同时还受到另一个随机过程的干扰，建模的目的是排除随机干扰，寻找能够描述研究对象运动规律的动态过程。CARMA模型研究存在影响因素时研究对象的行为，它使用的建模方法和ARMA模型的建模方法一样，只不过增加了一定的计算工作量。,4.4 小结,表4-3 我国19661982年电力供应变化的数据(单位：MW),4.4 小结,表4-4 19531982年某电力公司职工人数,