应用统计学 第2版 教学课件 ppt 作者 龚有容 主编 应用统计学讲义第七章

第七章 参数估计 与 假设检验,第七章 参数估计与假设检验,第一节 参数估计理论概述 总体的参数估计问题可以分为点估计和区间估计两大类. 一、点估计 设总体X的分布函数已知，但它的一个或多个参数未知，如果得到了X的一组样本观查值x1，x2，xn，用这组数据来估计总体参数的值，这个问题称为参数的点估计问题。,第七章 参数估计与假设检验,例1：设某校学生身高服从XN（µ ，2）正态分布，其中µ ，2都是未知的。今随机取得4个学生的身高数据如下 : 168、172、180、162 单位:(cm) 试估计µ ，2 解： =170.5cm S2= cm2 得µ ，2的估计值分别为170.5cm及57cm2,即： XN（ 170.5,572）,第七章 参数估计与假设检验,点估计的优点在于它能够提供总体参数 的具体估计值，可以作为行动决策的数 量依据。 点估计也有不足之处，任何点估计不是 对就是错，并不能提供误差情况如何， 误差程度有多大的信息。,第七章 参数估计与假设检验,二、区间估计 区间估计可解决参数估计的精确度和可 靠性问题。 （一）置信区间 参数的区间估计就是依照一定的概率保 证程度，用样本估计值估计总体参数取 值范围的方法。,第七章 参数估计与假设检验,.,下限和置限上限，通称为置信限。,第七章 参数估计与假设检验,在某些实际问题中，我们可能只关心未知参数在一定置信度下的下限或上限。 如估计一批产品的废品率，我们更关心其上限， 估计灯泡的平均寿命，我们更关心其下限。 这样得出的置信区间（0， ）或（ ， ）称为单侧置信区间，相应地，前面所讲的置信区间（ ）称为双侧置区间。,第七章 参数估计与假设检验,（二）置信水平 是置信度，亦称置信概率， 为显著性水平。置信度表达了参数区间估计的可靠性，而显著性水平表达了区间估计的不可靠概率。 置信区间 估计可靠性 估计的精确性 置信区间 估计的精确性 估计可靠性,第二节 参数的区间估计,一、总体均值的区间估计 （一）样本取自方差已知总体的区间估计 设x1,x2，xn为总体N（ µ ，2）的一个样本。 是µ的一个点估计，并且知道,第七章 参数估计与假设检验,且分布N（0，1）不依赖于µ。因此，对于给定的置 信度100（1）%有： 由不等式： 推得：,第七章 参数估计与假设检验,故所求的100（1 ）%置信区间为：,第七章 参数估计与假设检验,例2：某厂产品包装重量服从正态分布，标准差为8g，从中重复随机抽取25包样品进行测量，其平均重量为150.8g，试以95%的概率保证程度估计这批产品的包装重量。 解：正态总体方差已知，置信度1- =0.95 =0.05，查正态分布双侧临界值表得出相应的临界值 ，得 的置信区间为：,第七章 参数估计与假设检验,有95%的概率保证程度估计这批产品 的包装重量在147.66g153.94g之 间。,第七章 参数估计与假设检验,（二）样本取自方差未知总体的均值置信区间 （1）当总体服从正态分布，但总体方差 未知时，用样本方差 代替总体方差 。此时，构成的统计量不服从标准正态分布，而是服从自由度为n-1的t分布，记为：,第七章 参数估计与假设检验,可用此统计量来构造总体均值的置信区间，即为,第七章 参数估计与假设检验,在给定置信度1- ，可以查t分布表得出自由度为n-1的t分布临界值 例3：对零售市场的秤进行质量抽查，1kg的标准物在随机抽到的25个秤上称得重量的均值和标准差分别为1.06kg和0.14kg，假定总体近似服从正态分布，试以99%的概率程度估计1kg标准物称量的置信区间。 解：总体近似服从正态分布，方差 未知 1- =0.99, =0.01, /2=0.005,第七章 参数估计与假设检验,有99%的把握估计1kg标准物称量的置信区间在 0.9817kg至1.1383kg之间。 （2）对于非正态分布,应将样本容量增加到30或30 以上再进行抽样和作区间估计。,区间估计的构建方法,区间估计的主要思想来源估计量（例如样本均值）的抽样分布或概率分布。,s2X未知时,例如：求总体均值的区间估计,如果随机变量XN(mX,s2X)，则,s2X已知时,总体方差已知时：,总体方差未知时：,所以，总体数学期望置信度为1-a的置信区间,置信系数,下限,上限,总体成数的区间估计,正态分布常用概率度与置信系数F(t)对照表,【例】根据置信系数的要求估计总体指标出现的可能范围,某外贸公司出品一种茶叶，规定每包不低于150克，现在用不重复抽样的方法抽取其中1%进行检验。结果如下表所示，要求以99.73%的概率估计这批茶叶平均每包的重量范围。以做便确定平均重量是否达到规格要求。,某外贸公司出品茶叶抽样资料,样本容量为100，其样本均值近似服从正态分布,解：第一步，计算样本平均数和标准差，并计算抽样平均误差,第二步，根据给定置信度F(t)0.9973，查表得概率度t=3,第三步，计算抽样极限误差，并估计总体平均数的上下限,可以有99.73%的概率保证该批茶叶平均每包的重量范围在150.04150.56克之间，表明达到了要求。,另用同样的概率，求保证这批茶叶包装合格率的范围,第一步，计算样本合格率和标准差，并计算抽样平均误差,某外贸公司出品茶叶抽样资料,第七章 参数估计与假设检验,二、两个正态总体均值之差的区间估计 在实践中,经常会遇到需要估计两个总体均值之间差异。例如,估计两个不同地区居民人均收入的差异,两种不同经营方式下的平均生产效率的差异等。此时，我们需要对两个总体均值之差 进行区间估计。 假定来自两个总体的两个样本相互独立。,第七章 参数估计与假设检验,（一）两个正态总体方差已知 当两个总体均服从正态分布，且两个总体方差 已知时，可以证明，由两个独立样本均值之差 的抽样分布服从正态分布，其标准差为：,第七章 参数估计与假设检验,则： 在置信度1- 下的置信区间为：,第七章 参数估计与假设检验,例4：某城市调查队分别从所属A、B两市随机抽取 400户和300户职工家庭进行家计调查，调查资料表 明：A、B两个市职工家庭每日每人平均收入分别为 36元和28元，另从其他来源的资料测得；A、B两市 职工家庭每日每人平均收入的标准差为6.74元和 6.49元，试以95.45%的概率保证程度估计两市居民 每日每人平均收入的差异。,第七章 参数估计与假设检验,解:两个总体分布虽未知，但样本容量n1=400， n2=300都大于30，依中心极限定理，可知两个样本 均值之差 近似服从正态分布，另 1- =95.45%，查表得 故 在置信度1- 下的置信区间为：,第七章 参数估计与假设检验,.,以95.45%的概率保证程度估计两市居民每日每人平均收入之差在6.9921元至9.0079元之间。,第七章 参数估计与假设检验,(二)两个正态总体方差未知但相等 当X1N(µ ，12 )，X2N(µ ，22 ) ，且12, 22未 知， 12= 22= 2 为了给出2的估计,我们必须求出它们的共同方差2 的一个估计值,因为两个样本方差都有理由作为共同 方差的估计值，故通常计算它们的加权平均数,权数 就是它们的自由度,即:,第七章 参数估计与假设检验,可以证明: 服从自由度为n1+n2-1的t分布,因此,当两个总体服从 正态分布,方差未知且相等,则在1- 置信水平下两 个总体均值 之差的置信区间为:,第七章 参数估计与假设检验,.,第七章 参数估计与假设检验,例5:某生产厂家生产豪华型、普通型两种型号的洗 衣机，销售部门建议豪华型售价比普通型高出1000 元，为了说明这一建议销售部门分别从有关零售点 抽取两种型号各20台，所得以下数据， 豪华型： 元， 元； 普通型： 元， 元。假定两种型号 的零售价均服从正态分布,且方差相等,试以95%的 概率保证程度推断两种型号零售价之差的置信区 间。,第七章 参数估计与假设检验,假定两种型号的零售价均服从正态分布,且方差相等, 试以95%的概率保证程度推断两种型号零售价之差的 置信区间。 解：当两总体服从正态分布，方差未知且相等，则 在1- 置信条件下的区间估计为：,第七章 参数估计与假设检验,第七章 参数估计与假设检验,有95%的把握程度保证豪华型与 普通型洗衣机售价之差在435.99 元至964.01元之间。,第三节 假设检验的一般方法,一、假设检验的一般问题 （一）假设检验的概念 假设检验是利用样本的实际资料来检验事先对总体 某些数量特征所作的假设是否可信的一种统计分析 方法 。 统计假设检验亦称为显著性检验。它主要是指实际 的抽样指标与假设的总体指标之间的检验，目的在 于判断原假设的总体和现在实际的总体是否发生了 显著差异。假设检验是抽样统计推断的一项重要内 容。,第七章 参数估计与假设检验,假设检验和区间估计有着不可分割的联系。 以样本的合格率来推断产品总体的合格率。如果我们 是以一定的概率保证程度估计总体合格率，这就是一 个参数估计的问题，更准确地说，这是一个区间估计 的问题；如果要以一定的概率水平，通过样本资料来 判断该批产品是否合格，这就是一个假设检验问题。 事实上，这两个问题对同一个实例用的是同一个样 本，同一个统计量，同一种分布，因而可由区间估 计问题转换成假设检验问题，也可由假设检验问题 转换成区间估计问题。,第七章 参数估计与假设检验,在日常的社会经济生活中，由于我们通常难以完全知道所关心的总体的某些数量特征及其变化情况，因而对总体进行研究比较时，常常需要对总体的状况作出某种假设。例如，考虑目前股票市场上价格指数的走势是否正常，我们只能依据过去长期观察的平均价格水平和变异情况，作出当前股票价格水平可能正常或不正常的假设。但是这种平均水平毕竟只是过去的情况或正常条件下的要求，它是否也符合当前的实际情况，还需要等待进一步的验证，因此它只是一种假设。,第七章 参数估计与假设检验,又如，工厂生产某种产品经过工艺改革，如推广一 项新配方，新方法等，企业经营管理者十分关心产 品质量是否有所提高，这也需要先作出假设，然后 依据样本的实际资料用一定的程序来检验所作的假 设是否合理，从而决定接受或拒绝这个假设。总 之，凡属于研究总体的数量变化是否满足我们预期 的规律性要求的问题都属于统计假设检验的讨论范 围。,第七章 参数估计与假设检验,（二）假设检验的一般方法 统计假设检验是借助样本统计量来检验关于总体的假设是“是”还是“否”。首先根据已知的信息，在经过周密考虑之后提出原假设和备择假设。其中，原假设是检验中要予以拒绝或接受的假设，一般来说，原假设建立的依据都是已有的，具有稳定性的，从经验看，没有发生条件的变化，是不会轻易被否定的一种假设。换句话讲进行假设检验的基本目的，就在于作出决策：接受原假设还是拒绝原假设。,第七章 参数估计与假设检验,在进行假设检验时确定一个可允许的作为判断界限的小概率标准也非常重要。这个小概率标准就是统计假设检验中的显著性水平。在假设检验过程中，我们可以依据显著性水平的大小把概率分布划分为两个区间：小于给定标准的概率区间称为拒绝区间，大于