建筑制图与识图 教学课件 ppt 作者 卢扬 第4章　点、直线和平面的投影

第4章 点、直线和平面的投影,第4章 点、直线和平面的投影,4.1 点的投影 4.2 直线的投影 4.3 平面的投影 4.4 直线与平面、平面与平面的位置关系 4.5 平面上点和直线的投影,4.1 点的投影,4.1.1 点的三面投影及其规律 如图41a所示，将空间点A放置在三面投影体系中，过点A分别作垂直于H面、V面、W面的投射线，投射线与H面的交点a(即垂足点)称为A点的水平投影(H投影)；投射线与V面的交点a称为A点的正面投影(V投影)；投射线与W面的交点a称为A点的侧面投影(W投影)。,图4-1 点的三面投影,4.1 点的投影,1)点的V面投影a和H面投影a的连线垂直于OX轴(aaOX)。 2)点的V面投影以a和W面投影a的连线垂直于OZ轴(aa OZ)。 3)点的H面投影a到OX轴的距离等于点的W面投影a到OZ轴的距离(aaX=aaZ)。,图4-2 点A、B的三面投影,4.1 点的投影,解: 1)过O作45°辅助线，过a作aaOZ轴，过a作直线平行于OX轴，与45°辅助线相交后作平行于OZ轴的直线且交aa于a。 2)过b作bbOX，过b作直线平行OZ轴，与45°辅助线相交后作平行于OX轴的直线且交bb于b。 4.1.2 点的投影与坐标 在三投影面体系中，空间点及其投影的位置可以由点的坐标来确定。,图4-3 点的投影与坐标,4.1 点的投影,图4-4 根据点的坐标作投影图,解: 1)根据x=11、y=8、z=15定出aX、aY、aZ。,4.1 点的投影,2)过aX、aY 、aZ作投影轴的垂线，在水平投影面上的交点就是点的水平投影a；在正立面上的交点就是点的正面投影a；在侧立面上的交点就是点的侧面投影a。 4.1.3 点的空间位置,图4-5 点的相对位置,4.1 点的投影,1.两点的相对位置 空间两点上下、左右、前后的相对位置可根据它们在投影图中的各组同面投影来判断。 2.重影点及投影可见性的判断 如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则此两点在该投影面上的投影必定重合。,图4-6 投影点及投影可见性,4.1 点的投影,1)若两点的水平投影重合，则看重影点在正面或侧面上的投影，上面的点可见，下面的点不可见，即Z坐标值大的点投影可见，Z坐标值小的不可见。 2)若两点的正面投影重合，则看重影点在水平面或侧面上的投影，前面的点可见，后面的点不可见，即Y坐标值大的点投影可见，Y坐标值小的不可见。 3)若两点的侧面投影重合，则看重影点在正面或水平上的投影，左面的点可见，右面的点不可见，即X坐标值大的点投影可见，X坐标值小的不可见。,4.2 直线的投影,4.2.1 各种位置直线及其投影 根据直线与三个投影面的相对位置不同，直线可分为投影面平行线、投影面垂直线及投影面倾斜线三种。 1.投影面平行线 平行于某一投影面，而倾斜于另两个投影面的直线称为投影面平行线。,4.2 直线的投影,表4-1 投影面平行线的投影特性,1)直线在所平行的投影面上的投影表达实长。,4.2 直线的投影,2)其他投影平行于相应的投影轴。 3)表达实长的投影与投影轴所夹的角度等于空间直线对投影面的倾角。 2.投影面的垂直线 垂直于某一投影面，平行于另两个投影面的直线称为投影垂直线。,4.2 直线的投影,表4-2 投影面垂直线的投影特性,1)直线在所垂直的投影面上的投影成一点，有积聚性。,4.2 直线的投影,2)其他投影表达实长，且垂直于相应的投影轴。 3.一般位置直线 对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。,图4-7 一般位置直线的投影,4.2.2 直线上点的投影,4.2 直线的投影,直线上点的投影，必定在该直线的同面投影上；反之，一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则此点必定在该直线上。,图4-8 直线的点的投影,解:,4.2 直线的投影,图4-9 直线AB上分点M的投影,1)过a引一条射线，在其上截取5等份，连接5与b。 2)过2作5b的平行线，交ab于m。,4.2 直线的投影,3)过m向上引铅垂线，交ab于m，m、m即为所求，如图4-9b所示。 4.2.3 两直线的相对位置及其判定 空间两直线的相对位置关系有三种情况：平行、相交、交叉(异面)。 1.两直线平行 若空间两直线平行，则其各同面投影相互平行；反之，若两直线的各同面投影相互平行，则此两直线在空间也平行，如图4-10所示。,图4-10 两直线平行图,4.2 直线的投影,2.两直线相交 若空间两直线相交，则它们同面投影也必然相交，交点K是两直线的共有点，K点的投影符合点的投影规律，如图4-12所示。,图4-11 两面投影平行的直线投影,4.2 直线的投影,图4-12 直线相交,3.两直线交叉 空间直线不平行又不相交时称为交叉直线。,4.2 直线的投影,图4-13 直线交叉,4.2.4 直线段实长及倾角 一般位置直线段的投影既不反映该线段的实长，也不反映该线段对投影面的倾角。,4.2 直线的投影,1)过投影端点作垂线。 2)量取另外一个投影图上两端点的相对应的投影差。 3)连斜边即实长。,图4-14 求线段的实长度及倾角,4.2 直线的投影,解: 1)在正面投影中过b点作直线bBo,垂直于ab。 2)作baBo=30°，得RtbaBo。 3)bBo是AB两端点的Y坐标差，据此即可在水平投影中作出点a，进而求得AB的水平投影ab。,4.3 平面的投影,4.3.1 平面的表示方法 在立体几何中，确定平面的方式有以下五种： 1)不在同一直线上的三点。 2)直线及线外一点。 3)相交两直线。 4)平行两直线。 5)任意的平面图形。,图4-15 几何元素表示平面 a)不在同一直线上的三点 b)直线及线外一点 c)相交两直线 d)平行两直线 e)任意的平面图形,4.3 平面的投影,4.3.2 各种位置平面及其投影 根据平面相对投影面的位置不同，可以分为三类：投影面平行面、投影面垂直面、一般位置平面。 1.投影面平行面 平面在三投影面体系中平行于一个投影面，而垂直于另外两个投影面。,表4-3 投影面平行面的投影特性,4.3 平面的投影,表4-3 投影面平行面的投影特性,2.投影面垂直面 在三投影面体系中垂直于一个投影面，而对另外两投影面倾斜的平面。,4.3 平面的投影,表4-4 投影面垂直面的投影特性,4.3 平面的投影,表4-4 投影面垂直面的投影特性,3.一般位置平面 对三个投影面都倾斜的平面为一般位置平面，如图4-16所示。,4.3 平面的投影,图4-16 一般位置平面,1)平面垂直于投影面时，它在该投影面上的投影积聚成一条直线积聚性。,4.3 平面的投影,2)平面平行于投影面时，它在该投影面上的投影反映实形实形性。 3)平面倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影为类似图形类似性。,4.4 直线与平面、平面与平面的位置关系,4.4.1 平行关系 1.直线与平面平行 由初等几何学可知：若平面外一直线与平面内一直线平行，则此直线与该平面平行；反之，如果一直线与某平面平行，则在此平面上必能作出与该直线平行的直线。 解:,图4-17 作平面与已知直线平行,4.4 直线与平面、平面与平面的位置关系,2.平面与平面平行 由初等几何学可知：若一平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线,那么这两个平面互相平行。 解:,图4-18 作平面与已知平面平行,4.4.2 相交关系,4.4 直线与平面、平面与平面的位置关系,直线与平面相交，有且只有一个交点。 1. 一般位置直线与投影面的垂直面相交 当相交的两元素中有一个垂直于某投影面时，可利用其在垂直的投影面上的积聚性及交点的共有性，直接求出交点的一个投影。,图4-19 直线与平面相交,4.4 直线与平面、平面与平面的位置关系,2.一般位置平面与投影面的垂直面相交 如图4-20a所示，铅垂面ABC与一般位置平面DEF相交。,图4-20 两平面相交,3.投影面垂直线与一般位置平面相交 如图4-21a所示，,4.4 直线与平面、平面与平面的位置关系,铅垂线EF与平面ABC相交于点M。,图4-21 直线与平面的交点,4.4.3 垂直关系,4.4 直线与平面、平面与平面的位置关系,1.直线与平面垂直 由初等几何学可知：若一直线垂直于某平面，则此直线必垂直于该平面内的任何直线。 解:,图4-22 过点作平面垂直于已知直线,4.4 直线与平面、平面与平面的位置关系,2.平面与平面垂直 由初等几何学可知，若一直线垂直于某平面，则包含此直线的任何平面都与该平面垂直；反之，若两平面互相垂直，则由一平面上任一点向另一平面所作的垂线必在前一平面上。 解:,图4-23 过点作平面垂直于已知平面,4.5 平面上点和直线的投影,4.5.1 平面上的直线 直线在平面上的几何条件是： 1)直线通过平面上的已知两点，则该直线在该平面上，如图4-24a所示。 2)直线通过平面上的一个已知点，且又平行于平面上的一条已知直线，则该直线在该平面上，如图4-24b所示。,图4-24 平面上的直线,4.5 平面上点和直线的投影,4.5.2 平面上的点 点在平面上的几何条件是：如果点在平面上的一条已知直线上，则该点必在平面上。,图4-25 平面内点的投影,4.5 平面上点和直线的投影,解: 1)连cd并延长，交a b于e点。 2)由e作投射线与ab交于e，连ec。 3)由d作投射线与ec交得d。,