信号与系统 教学课件 ppt 作者 张延华 等第3章-离散时间信号与系统 3-9 数字滤波器

ThemeGallery PowerTemplate,§3-9 数字滤波器,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,不同种类滤波器的概念,滤波器的设计,3-9 数字滤波器,滤波器是用来进行频率选择或频率分辨操作的线性时不变系统的一个通称。因此线性离散时不变（LTI）系统也可称之为数字滤波器。一般而言，数字滤波器仍然可由差分方程： （3-9-1） 描述。式中 、 分别是系统的输入和输出序列，有限整数M和N分别表示输入及输出序列的最大延迟。 、 是滤波器的系数，这里需注意 的 系数 。,第二步，设 ，计算 于是在 时刻，输出 是 和 的线性组合。,3-9 数字滤波器,式（3-9-1）描述的数字滤波器可以直接用数值计算方法求解。就是说在整数n的一个定义域中，输出 可以按照以下步骤递归求出： 第一步，设 ，计算 于是在 时刻，输出 是 和 的线性组合。,3-9 数字滤波器,第三步，继续上述过程，系统输出的下一个值将是前N个输出值和M+1个输入值的线性组合。这里的每一步递归计算都必须存储前N个输出值（包括相应的输入值）。这个过程叫做N阶递归，上述方程因此描述了一个N阶递归滤波器，它的当前输出取决于输出的过去值 以及输入的过去和当前值。 通常，一个因果、可实现的递归系统又被描述成： 其中 表示对方括号中各项的某种运算。 若根据系统单位样值响应的形式，数字滤波器可分为FIR和IIR两类。,（3-9-2）,内容安排,3-9-1 FIR滤波器,3-9-4 单位样值响应,3-9-2 IIR滤波器,3-9-3 递归与非递归滤波器的关系,3-9-1 FIR滤波器,特别要指出，在零初始条件下，即 时， 若设 ，则得出的系统单位样值响应 的长度 为有限值，也就是说在 和 时， ，故也称 其为有限长度脉冲响应滤波器，简称为FIR滤波器。,如果一个LTI系统的当前输出仅仅取决于系统的输入序列项，而与输出序列的过去值无关，即：,（3-9-3）,则称其为非递归滤波器。,3-9-1 FIR滤波器,式（3-9-1）等式右端中的第2项若为零，则描述的是一个因果FIR滤波器，即 （3-9-4） 式中 是实数，称之为（式（3-9-4）FIR滤波器线性项的权系数或权重。事实上，式（3-9-4）定义了一种M+1个抽样值的加权移动平均，参数M是滤波器的阶次，滤波器权系数的个数也叫滤波器的长度，用L表示，由于长度比阶次大1，故长度L=M+1。,由于FIR滤波器的响应 是L=M+1点输入项：,3-9-1 FIR滤波器,注意，如果所有的权系数等于 ，即 则式（3-9-4）可简化成：,滑动平均（MA）滤波器可以平滑输入信号序列的快变信号，得到一个缓变的输出。例如，5点MA滤波器的输出：,（3-9-5）,的加权和（移动平均），它也被称之为L点滑动平均滤波器,3-9-1 FIR滤波器,对最近的5个输入值相加，其和除以5得到各项的输出。为说明它的滤波效果，滤波器的输出用simulink递归实现，如图3-9-1所示。 图3-9-1 5点MA滤波器的simulink模型,3-9-1 FIR滤波器,设输入序列如图3-9-2(a)所示，从图中可以看出除个别样本值变化较大外，其它均为1。滤波器的输出y(n)如图3-9-2(b)所示。 图3-9-2 5点MA滤波器的输入、输出,3-9-1 FIR滤波器,图3-9-2说明5点MA滤波器的输出波形中，其前后部分受到系统延迟的影响，这是由于在开始及结束时系统的单位样值响应和输入序列部分重叠。但输出的中间部分其样本值都接近1，正是因为滑动平均滤波器的滤波作用，滤除了输入序列中偏离1的大跳变。,3-9-1 FIR滤波器,式3-9-4还可用于定义所谓的L点指数加权滑动平均（EWMA）滤波器，即 式中 是实数， 为大于零的常数。显然，上式的权系数 ，且随m的增加 将减小。比如，当 时，,则4点EWMA滤波器的输出为,（3-9-6）,内容安排,3-9-1 FIR滤波器,3-9-4 单位样值响应,3-9-2 IIR滤波器,3-9-3 递归与非递归滤波器的关系,3-9-2 IIR滤波器,如果LTI系统的单位样值响应序列h(n)具有无限长度，则将其称之为无限冲激响应滤波器，简称为IIR滤波器。此时，式（3-9-1）变为：,或,（3-9-7）,（3-9-8）,3-9-2 IIR滤波器,式中滤波器的系数由 和 两部分构成，其中 称为反馈系数， 称为前馈系数。显然该方程共有N+M+1个系数。而且习惯上我们定义反馈项的数目，也就是N作为IIR系统的阶次。 注意，如果系数 ，则式（3-9-7）就简化成一个FIR滤波器系统，因此，FIR系统是IIR系统的特例。另外，由于该方程描述的是一个递归过程，其中当前输出 可用输出的过去值 递推得到，所以也称其为自回归（AR）滤波器。显然，数字滤波器的通式（3-9-1）描述的就是一个IIR滤波器，它有两个部分：一个AR部分和一个MA部分。这样的滤波器称为自回归滑动平均，或ARMA滤波器。,内容安排,3-9-1 FIR滤波器,3-9-4 单位样值响应,3-9-2 IIR滤波器,3-9-3 递归与非递归滤波器的关系,3-9-3 递归与非递归滤波器的关系,对于递归及非递归的含义通过计算序列 在区间 内的累积平均可以得到进一步的解释。现定义一个非递归系统为： （3-9-9） 正如上式所示，计算 需要存储所有的输入样本 ， 。显然n是递增的，故需要的存储空间也将随时间线性递增。,3-9-3 递归与非递归滤波器的关系,更好的算法是，利用过去的一个输出样本 计算输出 ，对式（3-9-9）进行简单的变形后可得： 进一步整理得出： （3-9-10） 根据式（3-9-10），等式右端是将过去的输出样本 乘以 （第一项）与当前输入样本 乘以 （第二项）相加，从而递归计算出累积平均 。因此，式（3-9-10）已经变形为一个递归系统。,考察式（3-9-10）可以发现，输出序列 的计算取决于一组过去的输出样本值 ，实现这个过程需要一个加法器、两个乘法器以及一个移位存储单位，其递归实现的simulink框图如图3-9-3所示。 图3-9-3 累积平均的simulink递归实现,3-9-3 递归与非递归滤波器的关系,非递归和递归系统之间的重要差异由图3-9-4给出。通过观察即可发现这两个系统之间的差别在于递归系统存在一个将系统的输出反馈到输入的反馈回路，而且该反馈回路还包含一个单位延迟环节。这是递归系统的一个重要特征。 图3-9-4 非递归(a)和递归系统(b)的基本特征,3-9-3 递归与非递归滤波器的关系,反馈环节的存在还提示递归和非递归系统之间的另一重要差异。例如，假设需要计算系统在 时刻由输入引起的输出 ，如果系统是递归的，则计算 需要按序计算所有的样本值 。反之，如果系统是非递归的，则直接计算 ，不需要计算,3-9-3 递归与非递归滤波器的关系,非递归和递归系统的特征总结如下：,递归系统存在一个反馈回路，其反馈系数等于单位延迟量。,非递归系统不存在这样的反馈回路。,递归系统的输出应该按顺序计算，即按序计算所有的样本值 。,非递归系统的输出可以按任意顺序计算，也就是说可以直接 计算 。,离散时间系统的单位样值响应是指输入序列是单位样值 时系统的响应（输出），通常记作 。 对于式（3-9-4）定义的非递归滤波器，若用它来描述一个离散系统的单位样值响应，可令输入序列 ，根据定义就有系统的输出序列 ，代入式（3-9-4）可得到： （3-9-11）,3-9-3 递归与非递归滤波器的关系,内容安排,3-9-1 FIR滤波器,3-9-4 单位样值响应,3-9-2 IIR滤波器,3-9-3 递归与非递归滤波器的关系,3-9-4 单位样值响应,因此当 ，且 时，上式就变成： （3-9-12） 所以，单位样值响应在时刻n的值 就等于系统的权系数 。 显然，该非递归滤波器的单位样值响应是有限长的，这也就是非递归滤波器又被称之为有限长单位样值响应 （FIR）滤波器的原因。,3-9-4 单位样值响应,反之，式（3-9-12）的递归过程的单位样值响应是无限长的。这一点可以通过如下的一阶递归系统加以说明： 该系统的初始条件为： 。现令 并带入上式，通过直接递归得到：,3-9-4 单位样值响应,可知对于任意非零实数 ，它的单位样值响应为无限长。这也就是递归滤波器又被称之为无限长单位样值响应（IIR）滤波器的原因。 单位样值响应常用来描述离散系统或滤波器的特性，这是因为一旦确定了系统的单位样值响应 ，就可以根据给定的输入序列 求出系统的响应号召输出序列。换句话说单位样值响应完全刻画了离散时间系统的特性。,