数学第二册 教学课件 ppt 作者 吕保献 第十一章　立 体 几 何

第十一章 立 体 几 何,在平面几何里,我们学习了一些平面图形的画法 和性质。在日常工作、生产实际和科学实验中, 还常常会接触到空间图形,因此,还需要了解空间 图形的有关知识。本章主要学习空间图形的画 法、性质和有关运算知识。,第一节 平面及其性质,一、平面及其表示法,常见的桌面、黑板面、广场的地面、平静的水面等,都呈现 出平面的形象。而几何里所说的平面是没有厚度的,它广阔 无边,向四周无限延展。由于平面的广阔性,在画平面时也只 能用平面的一部分来代表平面。当以适当的角度和适当的 距离去观察桌面、黑板面、地板时,觉得它们很像平行四边 形。因此,通常用平行四边形来表示平面,并记作希腊字母,、等,写在表示平面的平行四边形的一个顶角的内部;但 也可用表示平行四边形顶点的四个字母或对角的两个字母 来表示。如图11-1中所示的平面可记作平面、平面或平面 ABCD、平面AC等。,图 11-1,二、水平放置的平面图形的画法,把空间图形画在纸上,就是用一个平面图形表示空间图形。 这样的平面图形不是空间图形的真实形状,而是它的直观图 。,要画空间图形的直观图,首先应学会画水平放置的平面图形 的直观图。下面举例说明平面图形直观图的画法。,例1 画水平放置的ABC的直观图。,画法:(1)在ABC中以AB所在的直线为x轴,以A点为坐标原 点作y轴,作ABC的高CD。画对应轴x'轴y'轴,使x'A'y'=45°,(2)在x'轴上,取点D'、B',使A'D'=AD,A'B'=AB。过D'点在轴上 方作D'C'平行于y'轴,使得D'C'= DC。,(3)连接A'C'和B'C'。所得的三角形A'B'C'就是三角形ABC的直 观图,如图11-2所示。,图 11-2,上面画直观图的方法叫做斜二测画法。它的规则是:,1) 在已知图形中取互相垂直的Ox、Oy轴。画直观图时,把它,们画成对应的O'x'、O'y'轴,且使x'O'y'=45°。,2) 在已知图形中平行于Ox轴或Oy轴的线段,在直观图中分别 画成平行于O'x'轴或O'y'轴的线段。,3) 在已知图形中平行于Ox轴的线段,在直观图中保持原长不 变,平行于Oy轴的线段,长度为原长的一半。,例2 画正六边形的直观图。,画法:(1)在已知正六边形ABCDEF中取对角线AD为x轴,取对,称轴HG为y轴,O为坐标原点。画出对应的x轴和y轴,使xO y=45°。,(2)以O'为中心在x'轴上取A'D'=AD,在y'轴取H'G'= HG,以H' 为中点画B'C'A'D',并使B'C'=BC,以G'为中点画E'F'A'D',并 使E'F'=EF。,(3)连结A'B'、C'D'、D'E'、F'A'。所得的六边形A'B'C'D'E'F'就 是水平放置的正六边形ABCDEF的直观图,如图11-3所示。,图 11-3,三、平面的基本性质,人们在长期的生产实践中总结出了平面的基本性质,这里将,把它作为三条公理使用,它们是研究空间直线、平面的位置 关系的理论基础。,图 11-4,的所有点都在该平面内(如图11-4)。,这时,称直线l在平面内,或平面经过直线l。,公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们相交于经过这 点的一条直线(如图11-5)。,公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上,图 11-5,公理3 经过不在同一直线上的三点可以作一个平面,并且只 可以作一个平面(如图11-6)。,图 11-6,图 11-7,由于点是构成直线和平面的最基本的元素,因此直线和平面 都可以看做是点的集合,它们互相之间的关系可以用集合之间的关系来表示,规定如下:,公理3有以下推论:,推论1 一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面(如图 11-7a),推论2 两条相交的直线可以确定一个平面(如图11-7(b),推论3 两条平行直线可以确定一个平面(如图11-7c),点A在直线l上,记作Al;,点A不在直线l上,记作Al;,点A在平面内,记作A;,直线l在平面内,记作l或l;,直线l与平面交于点N,记作l=N;,直线l与平面没有交点,记作l= ;,平面与平面相交于直线l,记作=l。,例如,公理1可以用集合符号表示成:如果点A,点B,则直 线AB。,例3 求证两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平 面内。,已知 如图11-8所示,直线AB、BC、CA两两相交,其交点分 别为A、B、C。,图 11-8,求证 直线AB,BC,CA共面。,证明 因为,直线ABAC=A,所以,直线AB和AC确定一个平面(推论2),因为,BAB,CAC,所以,B,C,所以,BC(公理1)。,所以,直线AB、BC、AC都在平面内,即它们共面。,一、两条直线的位置关系,图 11-9,第二节 直线与直线的位置关系,定义 不在同一平面内的两条直线叫做异面直线。,由此可见,空间两条不重合的直线,它们的位置关系有三种:,1) 平行在同一平面内,没有公共点;,2) 相交在同一平面内,有且只有一个公共点;,3) 异面不在同一平面内,没有公共点。,二、空间直线的平行关系,在平面几何里我们已经知道,同一平面内,平行于同一条直线 的两条直线相互平行。这一性质对于空间图形也同样成立 。,定理1 如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线,也互相平行。,如图11-10所示,已知ab,cb,则ac。,图 11-10,这个性质是显而易见的。如物理学中所用的三棱分光镜,其 三条棱是两两相互平行的。,例1 已知ABCD是四个顶点不在同一平面内的空间四边形, E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点(如图11-11)。 连接EF、FG、GH、HE,求证:EFGH是一个平行四边形。,图 11-11,证明 因为EH是ABD的中位线,所以EH BD,同理,FG BD,根据定理1,可知EH FG,所以四边形EFGH 是一个平行四边形。,在平面几何中,对边分别平行并且同向的两个角相等,在空间 图形中,这一定理也是正确的。,定理2 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且,方向相同,那么这两个角相等(如图11-12)。,图 11-12,三、两条异面直线所成的角,画异面直线时要把异面直线明显地画在不同的平面内,可以 画成如图11-13所示那样。,图 11-13,平面内两条相交直线的位置关系可以用它们的交角来表示 。而两条异面直线不在同一平面内,它们既不平行也不相交,怎样来确定它们的关系呢?,定义 经过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线,这 两条相交直线所成的锐角(或直角),称为这两条异面直线所 成的角。,例如,设直线a、b是异面直线,经过空间任一点O,分别引直线 a'a, b'b,由定理2可知两直线所成的锐角(或直角)的大小, 只由直线a、b的相互位置来确定,与O点的选择无关。我们 把a'和b'所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角(如,图11-14a)、b)。,点O常取在两条异面直线中的一条上。 例如,取点O在直线b 上,然后过点O作直线a'a(如图11-14c)。那么a'和b所成的 角就是异面直线a、b所成的角。,图 11-14,如果两条异面直线所成的角是90°,则称这两条异面直线相互 垂直。异面直线a与b垂直,也记作ab。,例2 如图11-15所示,在正方体ABCDA1B1C1D1 中,指出下列 各对线段的位置关系以及所成角的度数:,(1) AB与CC1; (2)AA1与B1C; (3)A1D与AC。,图 11-15,解 (1)AB与CC1是异面直线,因为ABDC,所以AB与CC1所,成的角可用DCC1度量,而DCC1=90°,故AB与CC1成90°角, 即ABCC1;,(2)同理可得,AA1与B1C是异面直线,成45°角;,(3)A1D与AC是异面直线,因为A1DB1C,所以A1D与AC所成的 角等于ACB1,而ACB1是ACB1的内角,因ACB1是等边 三角形,所以ACB1=60°,故A1D与AC成60°角。,第三节 直线与平面的位置关系,一、直线与平面的位置关系,观察:教室的地面和墙面的交线在地面上;两墙面的交线和地 面只有一个交点;墙面和天花板的交线与地面没有交点,这些反,映出直线和平面之间存在着不同的位置关系。,定义 如果一条直线和一个平面没有公共点,那么称这条直 线和这个平面平行。如果一条直线和一个平面只有一个公 共点,那么称这条直线和这个平面相交。,由此可见,一条直线和一个平面存在着三种位置关系:,1) 直线在平面内有无数个公共点;,2) 直线和平面平行没有公共点;,3) 直线和平面相交只有一个公共点。,二、直线与平面平行,直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与这个 平面内的一条直线平行,那么这条直线就和这个平面平行(如 图11-18)。,直线与平面平行的性质定理 如果一条直线平行于一个已 知平面,那么过这条直线的平面与已知平面的交线和这条直 线平行(如图11-19)。,例1 已知空间四边形ABCD,E、F分别是AB、AD的中点,求 证:EF平面BCD(如图11-20)。,证明 连结BD,在ABD中,EFBD。,因为,EF不在平面BCD内,BD平面BCD。,根据判定定理,故EF平面BCD。,例2 已知AB,ACBD,AC、BD与分别交于C、D(如图1,1-21),求证:AC=BD。,证明 过平行线段AC、BD作平面,则直线AB,且= CD,根据性质定理可知ABCD,又ACBD,从而四边形ACDB是平行四边形。,所以AC=BD。,由例2可知以下结论成立:,如果一条直线和一个平面平行,那么夹在这条直线和这个平 面间的平行线段的长相等。,三、直线和平面垂直,把一本书打开直立于桌面上,设书脊为AB,各页与书桌面的 交线分别为BC、BD、,显然AB与这些交线都是垂直的(如 图11-22)。,定义 如果一条直线与平面内任何一条直线都垂直,那么就 说这条直线和这个平面互相垂直。这条直线叫做这个平面 的垂线;这条直线和平面的交点叫做垂线足(垂足)。,过平面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离称 为这个点到这个平面的距离。,直线l和平面互相垂直,记作l(如图11-23)。,空间过一点有且只有一条直线和一个平面垂直;过一点 有且只有一个平面和一条直线垂直。,判定定理 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那 么这条直线就垂直于这个平面(如图11-24)。,性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直 线互相平行(如图11-25)。,例3 如图11-26所示,平面内有RtABC,BAC=90°,AB=4 cm,AC=3cm,而PA,PB=5cm。求PA、PC的长(精确到0.1 cm)。,解 因为PA,所以PAAB,PAAC。PAB、PAC都 是直角三角形。,所以PA= = =3(cm),PC= = 4.2(cm),例4 已知(如图11-27)SAAB,SAAD,四边形ABCD是矩形, AB=9cm,AD=12cm,SC=25cm,求点S到平面AC的距离。,解 连结AC,因为ABCD是矩形,所以BC=AD=12,ABBC,则,因为SAAB,SAAD,所以SA平面AC。,又因为AC平面AC,所以SAAC,SAC=90°。,故SA= = =20,即点S到平面的距离为20。,四、直线与平面斜交,1.斜线及其在平面内的射影,定义 一条直线和平面相交但不和它垂直,这条直线就叫做 这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜线足(斜足)。,过平面外一点,向这个平面引垂线和斜线,从这点到垂足间的 线段叫做从这点到这个平面的垂线段;从这点到斜足间的线段,叫做从这点到这个平面的斜线段。斜足和垂足之间