数学第二册 教学课件 ppt 作者 吕保献 第十一章 立 体 几 何
160页1、第十一章 立 体 几 何,在平面几何里,我们学习了一些平面图形的画法 和性质。在日常工作、生产实际和科学实验中, 还常常会接触到空间图形,因此,还需要了解空间 图形的有关知识。本章主要学习空间图形的画 法、性质和有关运算知识。,第一节 平面及其性质,一、平面及其表示法,常见的桌面、黑板面、广场的地面、平静的水面等,都呈现 出平面的形象。而几何里所说的平面是没有厚度的,它广阔 无边,向四周无限延展。由于平面的广阔性,在画平面时也只 能用平面的一部分来代表平面。当以适当的角度和适当的 距离去观察桌面、黑板面、地板时,觉得它们很像平行四边 形。因此,通常用平行四边形来表示平面,并记作希腊字母,、等,写在表示平面的平行四边形的一个顶角的内部;但 也可用表示平行四边形顶点的四个字母或对角的两个字母 来表示。如图11-1中所示的平面可记作平面、平面或平面 ABCD、平面AC等。,图 11-1,二、水平放置的平面图形的画法,把空间图形画在纸上,就是用一个平面图形表示空间图形。 这样的平面图形不是空间图形的真实形状,而是它的直观图 。,要画空间图形的直观图,首先应学会画水平放置的平面图形 的直观图。下
2、面举例说明平面图形直观图的画法。,例1 画水平放置的ABC的直观图。,画法:(1)在ABC中以AB所在的直线为x轴,以A点为坐标原 点作y轴,作ABC的高CD。画对应轴x轴y轴,使xAy=45,(2)在x轴上,取点D、B,使AD=AD,AB=AB。过D点在轴上 方作DC平行于y轴,使得DC= DC。,(3)连接AC和BC。所得的三角形ABC就是三角形ABC的直 观图,如图11-2所示。,图 11-2,上面画直观图的方法叫做斜二测画法。它的规则是:,1) 在已知图形中取互相垂直的Ox、Oy轴。画直观图时,把它,们画成对应的Ox、Oy轴,且使xOy=45。,2) 在已知图形中平行于Ox轴或Oy轴的线段,在直观图中分别 画成平行于Ox轴或Oy轴的线段。,3) 在已知图形中平行于Ox轴的线段,在直观图中保持原长不 变,平行于Oy轴的线段,长度为原长的一半。,例2 画正六边形的直观图。,画法:(1)在已知正六边形ABCDEF中取对角线AD为x轴,取对,称轴HG为y轴,O为坐标原点。画出对应的x轴和y轴,使xO y=45。,(2)以O为中心在x轴上取AD=AD,在y轴取HG= HG,以H 为中点画
3、BCAD,并使BC=BC,以G为中点画EFAD,并 使EF=EF。,(3)连结AB、CD、DE、FA。所得的六边形ABCDEF就 是水平放置的正六边形ABCDEF的直观图,如图11-3所示。,图 11-3,三、平面的基本性质,人们在长期的生产实践中总结出了平面的基本性质,这里将,把它作为三条公理使用,它们是研究空间直线、平面的位置 关系的理论基础。,图 11-4,的所有点都在该平面内(如图11-4)。,这时,称直线l在平面内,或平面经过直线l。,公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们相交于经过这 点的一条直线(如图11-5)。,公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上,图 11-5,公理3 经过不在同一直线上的三点可以作一个平面,并且只 可以作一个平面(如图11-6)。,图 11-6,图 11-7,由于点是构成直线和平面的最基本的元素,因此直线和平面 都可以看做是点的集合,它们互相之间的关系可以用集合之间的关系来表示,规定如下:,公理3有以下推论:,推论1 一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面(如图 11-7a),推论2 两条相交的直线可以确定一个平面(如图11-
4、7(b),推论3 两条平行直线可以确定一个平面(如图11-7c),点A在直线l上,记作Al;,点A不在直线l上,记作Al;,点A在平面内,记作A;,直线l在平面内,记作l或l;,直线l与平面交于点N,记作l=N;,直线l与平面没有交点,记作l= ;,平面与平面相交于直线l,记作=l。,例如,公理1可以用集合符号表示成:如果点A,点B,则直 线AB。,例3 求证两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平 面内。,已知 如图11-8所示,直线AB、BC、CA两两相交,其交点分 别为A、B、C。,图 11-8,求证 直线AB,BC,CA共面。,证明 因为,直线ABAC=A,所以,直线AB和AC确定一个平面(推论2),因为,BAB,CAC,所以,B,C,所以,BC(公理1)。,所以,直线AB、BC、AC都在平面内,即它们共面。,一、两条直线的位置关系,图 11-9,第二节 直线与直线的位置关系,定义 不在同一平面内的两条直线叫做异面直线。,由此可见,空间两条不重合的直线,它们的位置关系有三种:,1) 平行在同一平面内,没有公共点;,2) 相交在同一平面内,有且只有一个公共点;,3) 异面不在同
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