全国I卷2019届高三五省优创名校联考数学（文）试卷含答案

1 2018201820192019 年度高三全国年度高三全国卷五省优创名校联考卷五省优创名校联考 数学（文科）数学（文科） 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 UR，则下列能正确表示集合 M0，1，2和 Nx|x22x0关系的韦恩 （Venn）图是 ABCD 2设复数 z2i，则 2 5 z z A53i B53i C53i D53i 3如图 1 为某省 2018 年 14 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2018 年 14 月快递业务收入统 计图，下列对统计图理解错误的是 2 A2018 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B2018 年 14 月的业务量同比增长率均超过 50，在 3 月最高 C从两图来看，2018 年 14 月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D从 14 月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长 4设 x，y 满足约束条件，则的取值范围是 60 3 30 xy x xy 1 y z x A （，90，） B （，112，） C9，0 D11，2 5函数的图象大致为 2 11 ( )ln | 22 f xxx A B C D 3 6某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧， 则该几何体的体积为 A 4 64 3 B644 C646 D648 7有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于 1000 的最小 数值，则在空白的判断框内可以填入的是 Ai6 Bi7 Ci8 Di9 8袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中” “国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数值的随机数，分别用 0，1，2，3 代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随 机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数： 232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为 A 1 9 4 B 3 18 C 2 9 D 5 18 9ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知，则 B 22 ()2 3sinacbabC A 6 B 4 C 2 3 D 3 10在直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 C：（ab0）的左焦点，A，B 分别为左、右 22 22 1 xy ab 顶点，过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于 P，Q 两点，连接 PB 交 y 轴于点 E，连接 AE 交 PQ 于点 M，若 M 是线段 PF 的中点，则椭圆 C 的离心率为 A 2 2 B 1 2 C 1 3 D 1 4 11已知奇函数 f（x）在 R 上的导数为 f（x） ， 5 且当 x（，0时，f（x）1，则不等式 f（2x1）f（x2）x3 的解集为 A （3，） B3，） C （，3 D （，3） 12已知函数 f（x）3sin（x） （0，0） ，对任意 xR 恒有()0 3 f ，且在区间（，）上有且只有一个 x1使 f（x1）3，则 的最大值为( )|( )| 3 f xf 15 5 A 57 4 B111 4 C105 4 D117 4 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题将答案填在答题卡中的横线上 13已知单位向量 a，b 的夹角为 60°，则（2ab）·（a3b）_ 14 2 53sin50 _ 43cos 20 15已知正三棱柱 ABCA1B1C1的高为 6，AB4，点 D 为棱 BB1的中点，则四棱锥 CA1ABD 的表面积是_ 6 16已知双曲线 C：（a0，b0） ，圆 M：若双曲线 C 的一条 22 22 1 xy ab 2 22 () 4 b xay 渐近线与圆 M 相切，则当取得最小值时，C 的实轴长为_ 2 2 147 ln 2 ba a 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 17设数列an的前 n 项和为 Sn，a13，且 Snnan1n2n （1）求an的通项公式； （2）若数列bn满足，求bn的前 n 项和 Tn 22 1 21 (1) n n n b na 182018 年 8 月 8 日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来某市为了解 全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了 40 人，将他们的年龄分成 7 段：10，20） ，20，30） ， 30，40） ，40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80后得到如图所示的频率分布直方图 （1）试求这 40 人年龄的平均数、中位数的估计值； （2） （）若从样本中年龄在50，70）的居民中任取 2 人赠送健身卡，求这 2 人中至少有 1 人年 龄不低于 60 岁的概率； （）已知该小区年龄在10，80内的总人数为 2000，若 18 岁以上（含 18 岁）为成年人，试估计 该小区年龄不超过 80 岁的成年人人数 7 19如图所示，在四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，其中 ABCD，ADC90°，ADAS2，AB1，CD3，点 E 在棱 CS 上，且 CECS （1）若，证明：BECD； 2 3 （2）若，求点 E 到平面 SBD 的距离 1 3 20在直角坐标系 xOy 中，动圆 P 与圆 Q：（x2）2y21 外切，且圆 P 与直线 x1 相切， 记动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的轨迹方程； （2）设过定点 S（2，0）的动直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试问：在曲线 C 上是否存在点 M（与 A，B 两点相异） ，当直线 MA，MB 的斜率存在时，直线 MA，MB 的斜率之和为定值？若 存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 8 21已知函数( )2ln a f xxa x （1）若函数 f（x）在1，）上是单调递减函数，求 a 的取值范围； （2）当2a0 时，证明：对任意 x（0，） ， 2 2 e(1) a x a a x （二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 44：坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 2 , 2 2 2 xmt yt 立极坐标系，椭圆 C 的极坐标方程为 2cos232sin248，其左焦点 F 在直线 l 上 （1）若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求|FA|FB|的值； （2）求椭圆 C 的内接矩形面积的最大值 23选修 45：不等式选讲 已知函数 f（x）|x2|ax2| （1）当 a2 时，求不等式 f（x）2x1 的解集； （2）若不等式 f（x）x2 对 x（0，2）恒成立，求 a 的取值范围 9 20182019 年度高三全国卷五省优创名校联考 数学参考答案（文科） 1A 2C 3D 4A 5C 6B 7B 8C 9D 10C 11B 12C 13 7 2 142 152 394 336 164 10 17解：（1）由条件知 Snnan1n2n， 当 n1 时，a2a12； 当 n2 时，Sn1（n1）an（n1）2（n1） ， 得 annan1（n1）an2n， 整理得 an1an2 综上可知，数列an是首项为 3、公差为 2 的等差数列，从而得 an2n1 （2）由（1）得， 2222 211 11 (22)4(1) n n b nnnn 所以 2222222 1111111111 (1)()()1 4223(1)4(1)44(1) n T nnnn 18解（1）平均数 15 0.1525 0.2350.345 0.1555 0.1(6575) 0.0537x 前三组的频率之和为 0.150.20.30.65，故中位数落在第 3 组，设中位数为 x， 则（x30）×0.030.150.20.5，解得 x35，即中位数为 35 （2） （）样本中，年龄在50，70）的人共有 40×0.156 人，其中年龄在50，60）的有 4 人，设 为 a，b，c，d，年龄在60，70）的有 2 人，设为 x，y 则从中任选 2 人共有如下 15 个基本事件：（a，b） ， （a，c） ， （a，d） ， （a，x） ， （a，y） ， （b，c） ， （b，d） ， （b，x） ， （b，y） ， （c，d） ， （c，x） ， （c，y） ， （d，x） ， （d，y） ， （x，y） 至少有 1 人年龄不低于 60 岁的共有如下 9 个基本事件： （a，x） ， （a，y） ， （b，x） ， （b，y） ， （c，x） ， （c，y） ， （d，x） ， （d，y） ， （x，y） 11 记“这 2 人中至少有 1 人年龄不低于 60 岁”为事件 A， 故所求概率 93 ( ) 155 P A （）样本中年龄在 18 岁以上的居民所占频率为 1（1810）×0.0150.88， 故可以估计，该小区年龄不超过 80 岁的成年人人数约为 2000×0.881760 19 （1）证明：因为，所以，在线段 CD 上取一点 F 使，连接 2 3 2 3 CECS 2 3 CFCD EF，BF，则 EFSD 且 DF1 因为 AB1，ABCD，ADC90°， 所以四边形 ABFD 为矩形，所以 CDBF 又 SA平面 ABCD，ADC90°， 所以 SACD，ADCD 因为 ADSAA，所以 CD平面 SAD， 所以 CDSD，从而 CDEF 因为 BFEFF，所以 CD平面 BEF 又 BE平面 BEF，所以 CDBE （2）解：由题设得， 111 ()2 332 S BCDBCD VSSACDADSA 又因为， 22 5SBSAAB 22 5BDABAD 22 2 2SDSAAD 所以， 22 11 ()6 22 SBD SSDSBSD 设点 C 到平面 SBD 的距离为 h，则由 VS 12 BCDVCSBD得 ，6h 因为，所以点 E 到平面 SBD