建筑力学 教学课件 ppt 作者 刘思俊 12静定结构的位移计算2
第十二章 静定结构的位移计算, 课节121 虚功原理和位移计算的一般公式 课节122 结构位移计算公式的应用 课节123 图乘法 课节124 支座移动的位移和互等定理,课节121 虚功原理和位移计算的一般公式,本章主要讨论：,一、结构位移,产生位移的原因: 除荷载作用外，温度改变、制造误差、基础的沉陷、支座移动等。, C 称为C截面线位移,1页,图乘法；,虚功原理，,位移计算的一般公式;,单位荷载法、,静定结构的位移计算；,互等定理。,结构杆件截面的移动和转动称为结构位移。,截面形心的移动称为线位移；截面转动的角度称为角位移。,C,C 称为C截面角位移, Cx为C截面水平线位移, Cy为C截面竖向线位移,2.计算位移的目的,1)校核结构的刚度，保证结构产生的位移不会超过允许的限值。,2)在结构的制作、施工、维护过程中，需要预先知道结构的变形情况，以便采取相应的施工、维护措施，以保证正常使用。,3)为计算超静定结构打下基础。,1.概念,二、虚功原理,2页,1、功、广义力和广义位移,把集中力、力偶统称为广义力；线位移、角位移称为广义位移。,由物理学可知，功的大小等于：力和位移的乘积。,力状态F1在力状态所对应的位移11上作的功为实功,2、实功与虚功,实功是指力在其自身引起的位移上所作的功；而虚功是指力在其它因素所引起的位移上所作的功。,力状态,位移状态,力状态F1在位移状态所对应位移12上作的功为虚功,3.变形体的虚功原理,F1所作的W11称为外力实功；W12称为外力虚功。同理用W11表示内力实功；用W12表示内力虚功。,虚功原理：外力在位移状态下相应位移上所作外力虚功W12等于力状态下的内力在位移状态下相应变形上所作的内力虚功W12。,W12= W12 （12-1）,必须指出：,3页,a.若取第一状态为实际状态，第二状态为虚拟状态，也就是虚功中力状态是实际的，位移状态是虚拟的，这时，虚功原理也称为虚位移原理，用此可求解力状态中的未知力。,b.反之，若取第一状态为虚拟状态，第二状态为实际状态，也就是虚功中的力状态是虚拟的，位移状态是实际的，这时，虚功原理也称为虚力原理，可求解出位移状态中的未知位移。,力状态和位移状态是同一体系中两种彼此无关的状态，因此，不仅可以把位移状态看作是虚设的，也可以把力状态看作是虚设的，它们有各自不同的应用 。,第一状态,第二状态,计算结构位移时，需要用到的是虚力原理，习惯上仍称它为虚功原理。,三、结构位移计算的一般公式,4页,1.单位荷载法,FK=1,确定图示结构上任截面K沿任一指定水平方向的位移K。,建立虚功方程：虚拟个的力状态，FK=1。,外力所作的虚功为:,内力所作的虚功W :,相对转角,相对剪位移,相对轴向位移,微虚功,全虚功,（12-2）,此式为位移计算的一般公式。称为单位荷载法。,三、结构位移计算的一般公式,5页,2、单位荷载的设置,a 求A点水平位移,单位荷载法所设的广义单位荷载与所计算的广义位移相对应即可。,b 求A点角位移,c 求AB点相对位移,d求AB点相对转角,e 求杆的角位移,f求两杆的相对转角,3、位移计算公式的应用,梁或刚架,(12-3),(12-2),桁架结构,组合结构,(12-4),(12-5),解：,例12-1,图示悬臂梁，已知EI，求B端截面的转角B和挠度yB,1) 列梁的弯矩方程,3) 求挠度yB,2) 求转角B,在B端加一单位力偶MB=1，得虚拟状态(图b)。,在B端加一单位力FB=1，得虚拟状态(图c)。,6页,课节122 结构位移计算公式的应用,解：,例12-2,图示悬臂梁，已知EI，求B端截面的转角B和挠度yB,1) 列梁的弯矩方程,3)求转角B,2) 求Bx,在B端加一水平单位力FB=1，得虚拟状态(图b),在B端加一单位力偶MB=1，得虚拟状态(图c) 。,6页,AB段,=ql/2,=ql/2,=0,BC段,AB段,BC段,AB段,BC段,例12-3 试求图示桁架下弦结点D的竖向位移Dv，设EA为常数。,FNEB,解：,1) 求各杆轴力,在结点D沿竖向加一单位力F1=1，得虚拟状态并求其对应轴力,2) 求,0,0,=2F,FNDB,=FNCE,=FNAD,=,2F,2F,1,0,0,0,Fx=0:,Fy=0:,FNEC= -FNEA,FNECsin30 -FNEA sin30=1,FNEC= -FNEA =1,1,-1,3) 求Dv,7页,课节123 图乘法,一、图乘法原理,1页,积分式可演变为:,若结构上各杆件均可图乘，则位移计算式可写成,此式表明，梁或刚架上任意K点的位移k等于一个弯矩图的面积A乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yC，再除以EI，这就是图乘法,计算位移时，各杆段若满足:杆件为直杆；EI为常量；MP图和 图两图中至少有一个是直线图形就可用图乘法。,图上任一x截面纵坐标,是MP图的面积A对y轴的静矩,(12-6),是MP图的形心C处所对应 图的竖坐标。,几种常见几何图形的面积公式及形心位置,D13,2页,三、应用图乘法计算求位移,3页,图乘法计算位移的解题步骤是:,1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP；,2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位弯矩图；,3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图竖标yC；,4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。,解：,例12-4,图示悬臂梁，已知EI，求B端截面的挠度yB和转角B,1) 画MP图,Fl,2) 求yB,在B端加单位力F1=1，得虚拟状态,1,3) 求B,在B端加单位力M2=1，得虚拟状态,画 图,画 图,l,由图乘法得：,由图乘法得：,解：,例12-5,图示刚架，已知EI，求结点B的水平位移Bx和角位移B。,3)求B,2) 求Bx,在B端加水平单位力F1=1得虚拟状态,在B端加单位力偶M2=1得虚拟状态,4页,=ql/2,=ql/2,=0,1) 画MP图,画 图,画 图,ql2/8,由图乘法得：,由图乘法得：,l,l,1,解：,例12-6,图示刚架，已知EI，求D截面竖向位移yD和角位移B。,2)求B,3) 求yD,在B端加竖向单位力F2=1得虚拟状态,在B端加单位力偶M1=1得虚拟状态,5页,=F,=F,=F,1) 画MP图,画 图,画 图,由图乘法得：,由图乘法得：,l/4,1,Fl,Fl,课节124 支座移动的位移和互等定理,1页,一、支座移动时的位移计算,静定结构的支座发生移动并不引起内力和变形，一般结构的位移计算仍需用虚功原理来计算。,支座发生了位移,外力的虚功为：,由虚功原理得：,(12-7),此式就是静定结构在支座移动时的位移计算公式。,式中 为虚设单位力产生的支座约束力，c为支座处的实际位移。,水平位移c1,竖向位移c2,角位移c3,内力的虚功为：,求K点竖向位移ky,在K点沿竖向加一单位力Fk=1,2页,例12-7 图示简支刚架，支座A水平位移a=1.0cm，竖向位移b=1.5cm ，试求C点的水平位移Cx和竖向位移Cy。,2）求Cx、Cy,求出虚设单位力产生的支座约束力如图。,解：,1）在C点水平虚设单位力F1=1;,在C点竖向虚设单位力F2=1,3页,二、弹性体系的互等定理,1.功的互等定理,同理,R21=R12 （12-10）,互等定理将在位移法计算超静定结构中得到应用 。,同一弹性结构在两种不同状态下的虚功相等,12-8式表明：第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。,第一状态的外力及内力在第二状态的位移和变形上作的外力虚功W12和内力虚功W12 ，根据虚功原理,(12-8),2.位移互等定理,(12-9),12-9式表明：第二单位力在第一单位力作用点沿其方向上产生的位移，等于第一单位力在第二单位力作用点沿其方向上产生的位移。,3.反力互等定理,12-10式表明：支座1发生单位位移所引起的支座2的反力等于支座2发生单位位移所引起的支座1的反力。,
