信号与系统 教学课件 ppt 作者 张延华 等第2章-连续时间信号与系统 SandS-2-3
ThemeGallery PowerTemplate,§2-3 奇异函数族,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,单位阶跃信号与单位冲积函数,单位冲积函数性质与冲积函数积分,2-3 奇异函数族,奇异函数族,奇异函数是与冲激函数有关的一个函数族。工程中常用的有阶跃函数、冲激函数和斜坡函数，它们彼此之间通过广义微分、积分建立联系，是信号与系统中的一类重要函数。 奇异函数族不仅是许多实际物理信号的基本建模函数，而且还可以用它们构造更为复杂的信号。,内容安排,2-3-1 单位阶跃信号,2-3-2 单位冲激信号,1、冲激函数的概念 2、单位冲激函数 3、冲激函数的积分 4、奇异函数 5、符号函数 6、单位抽样函数,2-3-1 单位阶跃信号,单位阶跃信号,连续时间单位阶跃信号有3种存在微小差异的定义。其中常见的定义有2个，它们是：,（2-3-1）,（2-3-2）,和,注意，定义式（2-3-1）中在 时，函数值 没有定义。,2-3-1 单位阶跃信号,单位阶跃信号的第3个定义，也叫Heaviside（海维赛）阶跃函数，为,（2-3-3）,定义式（2-3-1）和（2-3-2）比定义式（2-3-3）要简单和易用。从系统分析的角度考虑，这3种单位阶跃信号在 时刻的函数值 有没有确切定义并不重要。因为在傅立叶分析（本书第三章）中将会看到上述3种单位阶跃信号的定义具有相同的傅立叶变换，只是求其逆傅立叶变换时重构的总是Heaviside单位阶跃函数，也就是说在 时函数值 。其实，单位阶跃信号的3个定义在 时刻均存在一个不连续的间断点，即 在这种不连续的间断点处，逆傅立叶变换的值是信号在该给定点的平均值。针对单位阶跃信号，在 时刻其均值是 。,2-3-1 单位阶跃信号,为简单起见，除明确指出采用哪种单位阶跃函数的定义外，我们通常用式（2-3-1）给出的定义。,式中若 ， 右移 个单位即为 ；若 ， 左移 个单位即可。,2-3-1 单位阶跃信号,对于任意正整数k，单位阶跃信号有以下性质：,这个性质基于关系式 和 ， 。,2-3-1 单位阶跃信号,单位阶跃信号 是一个非常有用的基本信号。它通常作为开关信号（或函数）施加于信号或者系统中，例如:,利用 的开关特性描述了余弦函数 在 时的接入特性。又如 ，表示5V电压有一个“通、断”过程，即在 时 ，在 时 。另外，通过分析系统对单位阶跃输入信号的响应，可以获得系统对于突变输入信号的快速响应的信息。,2-3-1 单位阶跃信号,另一个有用的开关函数是单位矩形脉冲信号，用符号 描述，定义为,（2-3-7）,式中T是矩形脉冲的宽度，其波形如图2-3-2a)所示。单位矩形脉冲信号 可以用3种单位阶跃信号来描述，即,（2-3-8）,2-3-1 单位阶跃信号,式中， 是左移T/2个单位的阶跃信号， 是右移T/2个单位的阶跃信号， 是 反折后再右移T/2个单位的阶跃信号，而 是反折后再左移T/2个单位的阶跃信号。它们的波形如图2-3-2b)和图2-3-2c)所示。,图2-3-2 单位矩形脉冲信号的合成,2-3-1 单位阶跃信号,的波形如图2-3-3所示：,时移 个单位的单位矩形脉冲信号可以表示为：,（2-3-9）,图2-3-3 时移单位矩形脉冲信号,2-3-1 单位阶跃信号,单位矩形脉冲信号也叫门（或窗）信号。门信号在对信号进行截取（也叫加窗）操作时非常有用，因为 可以沿时间坐标轴滑动，也可以用它乘以某个信号从而截取该信号的门内部分。例如，若需要截取正弦信号 以 为起始点的一个周期内的信号部分，考虑到该信号的周期 ，则这个信号可以表示为：,2-3-1 单位阶跃信号,或者用门信号进行描述,截取以后的信号如图2-3-4所示。,图2-3-4 的波形,例2-3-1 图2-3-5所示的电压信号称为半波整流信号。它由正弦信号产生，但正弦波的负半周被置零，而正半周则保持不变。图中 是正弦信号的周期。,图2-3-5 半波整流信号,2-3-1 单位阶跃信号,2-3-1 单位阶跃信号,现假设 ，若要对半波整流信号 建模，可先给出 在一个周期内（即 ）的信号描述,式中 ，信号 在 内等于半波整流信号 在其它区间 。因此，半波整流信号 可以表示成 及其时移信号的和式，即,2-3-1 单位阶跃信号,式中 是 时延k个周期的信号。注意，如果半波整流信号 是定义在区间 的周期信号，则上式求和号的下限应该扩展到 。 本例还隐含了一个事实，即对周期信号进行建模，其数学模型通常是无穷多个多项式的和式。,内容安排,2-3-1 单位阶跃信号,2-3-2 单位冲激信号,1、冲激函数的概念 2、单位冲激函数 3、冲激函数的积分 4、奇异函数 5、符号函数 6、单位抽样函数,2-3-2 单位冲激信号,1、冲激函数的概念,冲激函数是一个奇异函数，就非严格意义而言，这个奇异函数没有时间结构。但可以通过对图2-3-6a)所示的单位矩形脉冲信号面积的讨论，得到冲激函数概念的直观描述。,图2-3-6 a)宽度为 ，幅度为 ，面积是1的单位矩形脉冲信号； b)面积恒为1，宽度为零，幅度趋于无穷大的,2-3-2 单位冲激信号,设图2-3-6a)所示的单位矩形脉冲信号的宽度为 ，幅度（高度）为 ，所以矩形脉冲信号的面积为 。如果保持脉冲信号的面积不变，但令宽度 ，则脉冲的宽度和高度将分别趋于零及无穷大，如图2-3-6b)所示。我们将这个面积恒为1，但宽度为零，幅度却趋于无穷大的信号称为单位冲激（或脉冲）函数（或狄拉克（Dirac）函数），用 表示。,这个函数之所以“奇异”，从直观上就可以发现除了 这一点外， 在其它时间轴处处为零，但在原点它等于什么？显然只可能是 。,2、单位冲激函数,前面已经提到，单位冲激函数 不是通常意义下的数学函数，因为它在 处有一个幅度无穷大的冲激，而在 的所有点上函数值均为零。但由于单位冲激函数曲线下的面积是1，则用积分可以定义这个广义函数。,连续时间单位冲激函数一般用以下两个联立的公式定义,（2-3-10）,2-3-2 单位冲激信号,2-3-2 单位冲激信号,如果单位冲激函数具有 个单位的时移，则时移单位冲激函数的定义是,（2-3-11）,上面给出的单位冲激函数的定义有人认为并不严密。一个更严密的定义是，对于一个在 处连续的任意函数 单位冲激函数 定义为,（2-3-12）,2-3-2 单位冲激信号,注意，以上两个关于单位冲激函数的定义式（2-3-11）和（2-3-12）不是完全等价的。根据单位矩形脉冲信号获得的 或 的定义（式（2-3-10）或式（2-3-11）数学上不够严密，故在应用中需要小心。但据此可以推导出冲激函数的关键性质，即式（2-3-12）。,如果用变量 代入式（2-3-12），则可获得单位冲激函数的另一个积分关系,（2-3-13）,工程中还会用到的一个重要关系是冲激函数与另一个函数的乘积，即 的运算。这里 可以看作是一个面积为A，且位于 处的冲激函数，其中系数A也叫冲激函数的强度。根据式（2-3-12），显然 应为,2-3-2 单位冲激信号,（2-3-14）,式（2-3-14）说明， 与 的乘积仍然是一个冲激函数，其冲激强度为 在 处的函数值 。式（2-3-12）和式（2-3-14）清楚地表明了冲激函数具有抽样特性（或筛选特性）。,应用中常用单位冲激函数构建所谓的单位梳状函数 。它是由等间隔单位沖激函数组成的一个脉冲序列，表示为,2-3-2 单位冲激信号,上式说明单位梳状函数 的每个沖激的强度、沖激之间的间隔及函数的均值均为1。单位梳状函数的图形如图2-3-7所示。,图2-3-7 单位梳状函数,表2-3给出了单位冲激函数的常用性质，它们在信号与系统的分析中有重要应用。,2-3-2 单位冲激信号,表2-3 单位冲激函数的常用性质,例2-3-2 计算积分,2-3-2 单位冲激信号,解：,注意积分 ，因为冲激函数 位于积分区间以外。,2-3-2 单位冲激信号,例2-3-3 计算,解：,2-3-2 单位冲激信号,例2-3-4 计算积分,其中积分限 ， 是在 处连续的任意函数。,解：这个积分关系在理论公式的推导中有应用。根据分配函数理论，有,（2-3-16）,由式（2-3-16），可以获得一些特殊的结果，如,2-3-3 冲激函数的积分,3、冲激函数的积分,由于 的面积1集中于 点处，故在 点处的积分值是不确定的。若将上式与式（2-3-1）定义的单位阶跃信号 进行比较，显然可见,2-3-3 冲激函数的积分,事实上，单位冲激函数 和单位阶跃函数是相互联系的，给定其中的一个，就可以唯一地确定另一个。这一点只需要对式（2-3-18）求（广义）导数，就可知悉 是 对时间的导数。即,（2-3-19）,如果对 进行2次积分，则有,（2-3-20）,2-3-3 冲激函数的积分,式（2-3-20）可以用开关函数 进行描述，即,（2-3-21）,其中，对单位阶跃函数 的参变量积分是，它又被称为单位斜坡函数，用 表示，即,（2-3-22）,一般情况下，斜坡函数可描述为,（2-3-23）,这个一般斜坡函数的非零部分的斜率为a。,例2-3-5 画出下列信号的波形,解： 1）可用分段函数、和合成，见图2-3-8。,图2-3-8 用分段函数合成,2-3-3 冲激函数的积分,2） 可用分段函数合成，见图2-3-9。,图2-3-9 用分段函数合成,2-3-3 冲激函数的积分,2-3-4 奇异函数,4、奇异函数,奇异函数是与冲激函数有关的一个函数族。工程中常用的有阶跃函数、冲激函数和斜坡函数，它们彼此之间通过广义微分、积分建立联系。为方便起见，有时用一个统一的符号描述奇异函数族，其中上角标k表示
