高三数学总复习指导（理科）专题二 函 数

今天比昨天好 这就是希望 高中数学小柯工作室 专题二 函 数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等§21 函 数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射记作f：AB，其中x叫原象，y叫象2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数记作yf(x)，xA其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域所有函数值构成的集合yyf(x)，xA叫做这个函数的值域函数的值域由定义域与对应法则完全确定3、函数是一种特殊的映射其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则其中定义域和对应法则是核心【复习要求】1了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象2能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数3掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则4理解定义域在三要素的地位，并会求定义域【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N映射f：AB把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2xx，则在映射f作用下，2的象是_；20的原象是_【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2xx所以，2的象是2226；设象20的原象为x，则x的象为20，即2xx20由于xN，2xx随着x的增大而增大，又可以发现24420，所以20的原象是4例2 设函数则f(1)_；若f(0)f(a)2，则a的所有可能值为_【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则所以f(1)3又f(0)1，所以f(a)1，当a0时，由a11得a0；当a0时，由a22a21，即a22a30得a3或a1(舍)综上，a0或a3例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )(A)(B)(C)(D)【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数(B)中两个函数的定义域相同，化简后为yx及yt，法则也相同，所以选(B)【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致例4 求下列函数的定义域(1)(2)(3)(4)解：(1)由x110，得x11，所以x11或x11，所以x2或x0所以，所求函数的定义域为xx2或x0(2)由x22x30得，x1或x3所以，所求函数的定义域为xx1或x3(3)由得x3，且x0，x1，所以，所求函数的定义域为x|x3，且x0，x1(4)由所以1x1，且x0所以，所求函数定义域为x1x1，且x0例5 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求函数f(x1)及f(x2)的定义域【分析】此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：定义域是指x的取值范围；受对应法则f制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的那么由f(x)的定义域是(0，1)可知法则f制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f(x1)中，受f直接制约的是x1，而定义域是指x的范围，因此通过解不等式0x11得1x0，即f(x1)的定义域是(1，0)同理可得f(x2)的定义域为x1x1，且x0例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域解：根据题意，AB2x所以，根据问题的实际意义AD0，x0解所以，所求函数定义域为【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：分式中分母不为零；偶次方根下被开方数非负；零次幂的底数要求不为零；对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；ytanx，则，kZ(2)不给出f(x)的解析式而求定义域(如例5)其解决办法见例5的分析(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域例7 (1)已知，求f(x)的解析式；(2)已知，求f(3)的值；(3)如果f(x)为二次函数，f(0)2，并且当x1时，f(x)取得最小值1，求f(x)的解析式；(4)*已知函数yf(x)与函数yg(x)2x的图象关于直线x1对称，求f(x)的解析式【分析】(1)求函数f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题方法一通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”所以，方法二设，则则，所以这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么(2)用“凑型”的方法，(3)因为f(x)为二次函数，并且当x1时，f(x)取得最小值1，所以，可设f(x)a(x1)21，又f(0)2，所以a(01)212，所以a3f(x)3(x1)213x26x2(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x1对称点的坐标为Q(2x，y)，由已知，点Q在函数yg(x)的图象上，所以，点Q的坐标(2x，y)满足yg(x)的解析式，即yg(2x)22x，所以，f(x)22x【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法值得注意的是(4)中所用的解析法在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x1，且图象在y轴上的截距为3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式解：解法一设f(x)ax2bxc，由f(x)的对称轴为x1，可得b2a；由图象在y轴上的截距为3，可得c3；由图象被x轴截得的线段长为4，可得x1，x3均为方程ax2bxc0的根所以f(1)0，即abc0，所以a1f(x)x22x3解法二因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x1，x3均为方程f(x)0的根所以，设f(x)a(x1)(x3)，又f(x)图象在y轴上的截距为3，即函数图象过(0，3)点即3a3，a1所以f(x)x22x3【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重二次函数的解析式有三种形式：一般式yax2bxc；顶点式ya(xh)2k，其中(h，k)为顶点坐标；双根式ya(xx1)(xx2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根例9 某地区上年度电价为0.8元kW·h，年用电量为akW·h本年度计划将电价降到0.55元kW·h至0.75元kW·h之间，而用户期望电价为0.40元kW·h经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)该地区电力的成本价为0.30元kW·h(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20?解：(1)依题意，当实际电价为x元kW·h时，用电量将增加至故电力部门的收益为(2)易知，上年度的收益为(0.80.3)a，依题意，且0.55x0.75，解得0.60x0.75所以，当电价最低定为0.60元kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20练习21一、选择题1已知函数的定义域为M，g(x)ln(1x)的定义域为N，则MN( )(A)xx1(B)xx1(C)x1x1(D)2图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A)(B)(C)(D)y1x1(0x2)3已知f(x1)x22x，则( )(A)(B)(C)(D)4已知若f(x)3，则x的值是( )(A)0(B)0或(C)(D)二、填空题5给定映射f：(x，y)(x2y，x2y)，在映射f下(0，1)的象是_；(3，1)的原象是_6函数的定义域是_7已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123x123f(x)131g(x)321则fg(1)的值为_；满足fg(x)gf(x)的x的值是_8已知函数yf(x)与函数yg(x)2x的图象关于点(0，1)对称，则f(x)的解析式为_三、解答题9已知f(x)2xx1，求g(1)，gf(1)的值10在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程为yax2c(a0)，D(6，7)为x轴上的给定区间为使物体落在区间D内，求a的取值范围11如图，