学习·探究·诊断（选修2-1）单元测试三 圆锥曲线与方程（二）

单元测试三 圆锥曲线与方程(二)一、选择题1如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是( )(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线2已知双曲线的离心率，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为q ，则此角的取值范围是( )(A)(B)(C)(D)3以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )(A)(B) (C)(D)4设抛物线C：y24x的焦点为F，过F点作直线交抛物线C于A，B两点，则AOB的面积S的最小值是( )(A)(B)2(C)4(D)15若双曲线x2y21的右支上一点P(a，b)到直线yx的距离为，则ab的值为( )(A)(B)(C)(D)6椭圆和双曲线的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cosF1 PF2的值是( )(A)(B) (C) (D)7过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1x26，那么AB等于( )(A)10(B)8(C)6(D)48设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i1，2，3，)到F的距离组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是( )(A)(B)(C) (D)1，2二、填空题9平面内一条线段AB6，动点P满足PA10PB，则PA的最大值与最小值之积为_10设抛物线y24x上一点P到直线x20的距离是5，则点P到抛物线焦点F的距离为_11以下有三个关于圆锥曲线的命题：设A，B为两个定点，k为非零常数，则动点P的轨迹为双曲线的一支，方程2x25x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线1与椭圆有相同的焦点，其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)三、解答题12设P是椭圆上一点，F1，F2是焦点，且(F1PF2)max90°，求它的离心率的取值范围13已知椭圆，一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的点M，N，且线段MN的中点的横坐标为，求直线l的倾斜角的取值范围14设抛物线C：yx2xcosq 2sinq 1(q 为参数)，求抛物线在x轴上的两个截距的平方和的最值15已知椭圆(ab0)的左、右焦点分别是F1(c，0)，F2(c，0)，Q是椭圆外的动点，满足，点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足(如图所示)(1)设x为点P的横坐标，证明：；(2)求点T的轨迹C的方程单元测试三一、选择题1B 点拨：由题意知，EAEOEBEOR(R为圆的半径)且ROA，故点E的轨迹为椭圆，应选B2C 点拨：，故选C3D 点拨：因为双曲线的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为，所以所求椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为所以在椭圆中，a4，所以b24，所以所求的椭圆方程为4B 点拨：设AB的倾斜角为q 由弦长公式可得：，又因为原点O到直线AB的距离dsinq ，所以，所以当sinq 1时，Smin2，故选B5B 点拨：，又a2b21，所以或(舍去)，所以，故选B6A 点拨：由题意可知，点P既在椭圆上又在双曲线上由椭圆和双曲线的对称性设点P在第一象限，如图所示，根据椭圆和双曲线的定义可得所以|F1F2|4，所以cosF1PF27B 点拨：由已知得抛物线的焦点为(1，0)，过焦点的直线设为yk(x1)由x1x26知，此直线不平行于y轴，因而k存在且k0由消去y，得k2x22(k22)xk20由，得k±1又x1·x21，所以AB2(1k2)(x1x2)22(x1x2)22(x1x2)24x1x264，故AB8，应选B8C二、填空题916 点拨：因为PAPB10AB，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a10，2c6，所以PA的最大值与最小值分别为ac8和ac2，其积为16104 点拨：由题意知y24x的焦点F(1，0)，准线方程为x1由已知可得P到x1的距离为4，则P到焦点F的距离为411 点拨：中若kAB，则动点P的轨迹是两条射线，若kAB，则无轨迹，当kAB时，才是双曲线的一支；中设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系得：x1x21，所以两根中一根在区间(0，1)内，另一根在区间(1，)内，故正确；中双曲线与椭圆的焦点都是，故正确三、解答题12解：在椭圆上取一点P构成F1PF2，由余弦定理得cosF1PF2，当且仅当PF1PF2时取“”，即P点落在短轴端点时，cosF1PF2最小，F1PF2最大，所以P即为短轴端点(设为B)，所以F1BF290°，所以OBF245°，又因为e1，所以13解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将这两点的坐标分别代入椭圆方程，得，1，两式相减，得，因为x1x2，所以(k为直线l的斜率)，设MN的中点为(x0，y0)，可以求得.又(x0，y0)在椭圆内部，所以，所以k23，即或，故直线l倾斜角的取值范围是14解：设抛物线C在x轴上的两个截距分别是x1，x2，则x1，x2是方程x2xcosq 2sinq 10的两个根，所以Dcos2q 4(2sinq 1)0，即sin2q 8sinq 50，解得4sinq 4，又因为1sinq 1，所以1sinq 4所以(x1x2)22x1x2cos2q 2(2sinq 1)(sinq 2)27因为1sinq 4，所以418，6，所以两个截距的平方和的最大值是6，最小值是41815(1)证明：设点P的坐标为(x，y)，由P(x，y)在椭圆上，得，由xa知，所以(2)解：设点T的坐标为(x，y)当时，点(a，0)和点(a，0)在轨迹上当，且时，又，则可以证明，所以T为线段F2Q的中点在QF1F2中，所以有x2y2a2综上所述，点T的轨迹C的方程是x2y2a26