湖南省2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

1 湖南省长郡中学湖南省长郡中学 20192019 届高三下学期第一次模拟考试届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）试题数学（理）试题 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.已知集合，若，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：先化简集合 B,再根据求出实数 a 的取值范围. 详解：由题得. 因为，所以,所以. 故答案为：D 点睛：（1）本题主要考查集合的交集和集合的关系，意在考查集合的基础知识的掌握能力.(2)本题有一个易 错点，最后的答案容易加等号即，到底取等还是不取等，可以直接把 a=1 代入已知检验， ，不满足，（1,3）B. 2.复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 本题考查共轭复数的概念，先把复数的分母实数化，根据共轭复数的概 念易得答案 C。 3.如图是 2002 年 8 月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制 的，在我国最早的数学著作周髀算经中有详细的记载.若图中大正方形的边长为 5，小正方形的边 长为 2.现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷 个点.有个点落在中间的圆内，由此 可估计 的近似值为（ ） 2 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：利用几何概型概率公式可得. 详解：小正方形边长为 ，所以圆半径为 ，圆面积为 ， 又大正方形的棱长为 ，所以正方形面积为， 由几何概型概率公式可得，故选 D. 点睛：本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方 法就是利用模拟实验及几何概型概率公式，列出符合条件的面积与总面积之间的方程求解. 4.已知且都不为 0（） ，则“”是“关于 的不等式 与同解”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 充分性：举反例，可判断不成立；必要性：不等式同解可得方程同解，从而证明必 要性成立. 【详解】解：若，取，则解得，解得，所以 关于 的不等式 与不同解； 若关于 的不等式与同解，则方程与必同解，又都不为 0（ ） ，所以 3 所以“”是“关于 的不等式与同解”的必要不充分条件 故选：B. 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，判断一个命题为假只需举一个反例即可. 5.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出各棱长，从而求出各面的面积，相加即可. 【详解】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为 4 和 5 的直角三角形， 一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为 4，底边长为 5，如图 所以， 左边侧面为等腰三角形，底边为，高为 所以 三棱锥的表面积 故选 B 4 【点睛】本题考查了三视图与几何体的关系，空间几何体表面积的求法，考查了空间想象能力与计算能力. 6.阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是（ ） A. 计算数列的前 10 项和B. 计算数列的前 9 项和 C. 计算数列的前 10 项和D. 计算数列的前 9 项和 【答案】A 【解析】 【分析】 从赋值开始，逐步分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能. 【详解】解：开始赋值：，； 执行，； 判断不成立，执行，； 判断不成立，执行，； 判断不成立，执行，； 判断成立，输出. 算法结束 所以该算法的功能是计算数列的前 10 项和 故选：A. 【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构，循环次数较多时，一般写出前几次循环找出规律. 5 7.如图是函数图像的一部分，对不同的，若，有 ，则（ ） A. 在上是减函数 B. 在上是减函数 C. 在上是增函数 D. 在上是增函数 【答案】C 【解析】 试题分析：根据题意可知，从而有，结合题中条件，可知 ，结合 的范围，求得， 所以，结合函数的性质，可知 C 是正确的，故选 C 考点：根据图像求函数解析式，正弦函数的性质 8.如图所示，直线 为双曲线 ：的一条渐近线，是双曲线 的左、右焦点，关 于直线 的对称点为，且是以为圆心，以半焦距 为半径的圆上的一点，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. 2D. 3 【答案】C 【解析】 设焦点关于渐近线的对称点为， 6 则，又点在圆上， ，故选 C. 9.已知定义在 上的偶函数（其中 为自然对数的底数） ，记， ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由偶函数求出，然后分析出函数在上单调递增，判断出以，且都属于， 然后可比较大小. 【详解】解：由定义在 上的偶函数，可得 即，解得 所以 当时，单调递增，单调递减， 所以在上单调递增 因为， 所以，且都属于 所以，即 故选：A. 【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合运用，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题. 10.已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为 1，第二行为 3，5，第三行为 7，9，11，第 四行为 13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 行，第 列的数记为，比如， ，若，则（ ） 7 A. 72B. 71C. 66D. 65 【答案】B 【解析】 【分析】 先分析出奇数 2019 为第 1010 个奇数，按照蛇形排列，第 1 行到第 行末共有个奇数， 试值可以分析出第 1010 个奇数位于第 45 行，从右到左第 20 列，从而得出答案. 【详解】解：奇数 2019 为第 1010 个奇数, 按照蛇形排列，第 1 行到第 行末共有个奇数， 则第 1 行到第 44 行末共有 990 个奇数， 第 1 行到第 45 行末共有 1035 个奇数，则 2019 位于第 45 行； 而第 45 行是从右到左依次递增，且共有 45 个奇数； 故 2019 位于第 45 行，从右到左第 20 列， 则 故选 B. 【点睛】本题考查了等差数列的前 n 项和，数与式中的归纳推理，属于中等题. 11.已知 为抛物线 ：的焦点， 为其准线与 轴的交点，过 的直线交抛物线 于两点，为线段 的中点，且，则（ ） A. 6B. C. 8D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】 设直线，联立抛物线方程得韦达定理，求出点坐标，由列方程解出 ，然后可求出 . 【详解】解：根据题意可知直线的斜率是存在的，抛物线的焦点坐标是， 设直线， 将直线与抛物线方程联立， 8 化简得， 得， 所以，又， 根据，得， 解得， 所以， 故选 A. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线焦点弦的性质，属于中档题. 12.已知函数,若存在,使得关于 的方程有解,其中 为自然对数的底数则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：由题得，令， 利用导数性质能求出实数 的取值范围 详解：由，得， 得，即， 令，则， 显然是函数的唯一零点，易得，即. 故选 D. 点睛：本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用 ，属中档题， 第第卷卷 9 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.已知向量，向量的夹角是 ，则等于_. 【答案】2 【解析】 试题分析:由题意，得，向量 a，c 的夹角，则由，得，则；故填 2 考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的模 14.设满足约束条件，则的最小值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 先画出约束条件所代表的平面区域，再画出目标函数并平移目标函数确定最优解的位置，求出最优解代入目 标函数求出最值即可. 【详解】解：先画出约束条件所代表的平面区域，如图中阴影 然后画出目标函数如图中过原点虚线所示 平移目标函数，在点 处取得最小值 由，解得 所以目标函数最小值为 故答案为：. 【点睛】本题考查了简单线性规划问题，平移目标函 10 数时由目标函数中 前系数小于 0，故向上移越移越小. 15.若的展开式中各项的系数之和为 81，且常数项为 ，则直线与曲线所围成的封闭区域 面积为 【答案】 【解析】 试题分析：的展开式中各项的系数之和为 81，的展开式的通项公式为： 令，解得 展开式中常数项为 直线与曲线围成的封闭区域面积为： 故答案为： 考点：二项式定理，定积分 16.已知点均在表面积为的球面上,其中平面,则三棱锥的体 积的最大值为_ 【答案】 【解析】 分析：先求出球的半径，再求出三棱锥的体积的表达式，最后求函数的最大值. 详解：设球的半径为 R,所以 设 AB=x,则，由余弦定理得 设底面ABC 的外接圆的半径为 r,则 所以 PA=. 所以三棱锥的体积 11 =. 当且仅当 x=时取等. 故答案为： 点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识 的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式：，当且仅当 a=b=c0 时取等.(3)函数的思想 是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 17.在中，三边所对应的角分别是.已知成等比数列. （1）若，求角 的值； （2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围. 【答案】 （1） ；（2）. 【解析】 【分析】 （1）化简，可得，由成等比数列，用正弦定理进行边角转化为 ，又，可解出，从而求出角 ；（2）由外接圆的面积可求出外接 圆半径，且，得，再由余弦定理可求出的范围，得 的范 围，从而求出的范围. 【详解】解：（1）， 又成等比数列，得，由正弦定理有， ，得，即， 由知， 不是最大边，. （2）外接圆的面积为，的外接圆的半径， 由余弦定理，得，又， ，当且仅当时取等号，又 为的内角， 由正弦定理，得. 12 的面积， ，. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，正余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积的最值问题，属于中 档题. 18.如图 1，直角梯形中，中，分别为边和上的点，且， .将四边形沿折起成如图 2 的位置，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐角的余弦值. 【答案】 （1）见解析；（2）。 【解析】 试题分析：（1）取 DE 中点 G，连接 FG,AG，平面，只需证平面 AFG平面 CBD，又 平面，平面，故只需证平面 CBD，平面 CBD 即可； （2）要求平面与平面所成锐角的余弦值，需找两平面的法向量，取中点为 H，连接 DH，可证 ， 故以中点 H 为原点，为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知是平面 的一个法向量，由可得平面的一个法向量为，然后由空间两向量夹角公式去求平面 与平面所成锐角的余弦值。 试题解析：（1）证明：取 DE 中点 G，连接 FG,AG，CG.因为 CFDG,所以 FGCD.因为 CGAB, , 所以 AGBC.所以平面 AFG平面 CBD， 所以 AF平面 CBD. （2）解: 取中点为 H，连接 DH.,， .，. 以中点 H 为原点，为 轴建立如图所示的空间直 13 角坐标系，则，所以的中点坐标为因为，所以 易知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为 由 令则， , 所以面与面所成角的余弦值为. 考点：（1）空间线面