高中数学教师讲义：第八章 解析几何

第八章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础盘查一直线的倾斜角与斜率(一)循纲忆知1在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素(定点、斜率、倾斜角)2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式(二)小题查验1判断正误(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)过点M(a，b)，N(b，a)(ab)的直线的倾斜角是45°()(3)倾斜角越大，斜率越大()答案：(1)×(2)×(3)×2(人教A版教材习题改编)若过两点A(m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m_2_.答案：3直线xcos y20的倾斜角的范围是_解析：设直线的倾斜角为，依题意知，kcos ；cos 1,1，k，即tan .又0，)，.答案：基础盘查二直线的方程(一)循纲忆知掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系(二)小题查验1判断正误(1)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()(3)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离()(4)若直线在x轴，y轴上的截距分别为m，n，则方程可记为1()答案：(1)×(2)(3)×(4)×2(人教A版教材习题改编)已知三角形的三个顶点A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为_答案：x13y503过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_解析：若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点，设直线方程为1，即xya.则a3(4)1，所以直线的方程为xy10.答案：4x3y0或xy10|(基础送分型考点自主练透)必备知识1直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角(2)范围：0，)2直线的斜率(1)定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值tan 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即ktan .(2)范围：全体实数R.(3)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为kP1P2.提醒(1)任意一条直线都有倾斜角，但只有与x轴不垂直的直线才有斜率(2)0时k0；是锐角时k>0；是钝角时k<0.(3)已知倾斜角的范围，求斜率k的范围时注意下列图象的应用：当ktan ，时的图象如图：题组练透1若经过两点A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为，则y等于()A1B3C0 D2解析：选B由ktan 1.得42y2，y3.2(2015·常州模拟)若ab<0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是_解析：kPQ<0，又倾斜角的取值范围为0，)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为.答案：3(2015·沈阳联考)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1，1)和Q(2,2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_解析：如图所示，直线l：xmym0过定点A(0，1)，当m0时，kQA，kPA2，kl.2或.解得0<m或m<0；当m0时，直线l的方程为x0，与线段PQ有交点实数m的取值范围为m.答案：类题通法1求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率ktan 的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围2求倾斜角时要注意斜率是否存在|(重点保分型考点师生共研)必备知识1点斜式过点(x0，y0)，斜率为k的直线方程为yy0k(xx0)局限性：不含垂直于x轴的直线2斜截式斜率为k，纵截距为b的直线方程为ykxb.局限性：不含垂直于x轴的直线3两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2，y1y2)的直线方程为.局限性：不含垂直于坐标轴的直线4截距式在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a0，b0)的直线方程为1.局限性：不含垂直于坐标轴和过原点的直线5一般式AxByC0(A2B20)提醒当直线与x轴不垂直时，设直线的斜率为k，则方程为ykxb；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为kyxb0.典题例析已知ABC的三个顶点分别为A(3,0)，B(2，1)，C(2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点，由两点式得BC的方程为，即x2y40.(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x0，y2.BC边的中线AD过点A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为1，即2x3y60.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k22.由(2)知，点D的坐标为(0,2)由点斜式得直线DE的方程为y22(x0)，即2xy20.类题通法1在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件2对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用演练冲关求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程解：当斜率不存在时，所求直线方程为x50，适合题意；当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点到直线的距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.|(常考常新型考点多角探明)多角探明直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式相结合，命题多为客观题，归纳起来常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数几何意义相结合的问题.角度一：与基本不等式相结合的最值问题1已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点求：(1)当|OA|OB|取得最小值时，直线l的方程；(2)当|MA|2|MB|2取得最小值时，直线l的方程解：(1)设A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)设直线l的方程为1，则1，所以|OA|OB|ab(ab) 2224，当且仅当“ab2”时取等号，此时直线l的方程为xy20.(2)设直线l的斜率为k，则k0，直线l的方程为y1k(x1)，则A，B(0,1k), 所以|MA|2|MB|221212(11k)22k2224，当且仅当k2，即k1时，|MA|2|MB|2取得最小值4，此时直线l的方程为xy20.角度二：与导数几何意义相结合的问题2已知曲线y，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_解析：y，因为ex>0，所以ex22(当且仅当ex，即x0时取等号)，所以ex24，故y(当且仅当x0时取等号)所以当x0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y(x0)，即x4y20.该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S×2×.答案：类题通法1含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”2求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值一、选择题1直线l：xsin 30°ycos 150°10的斜率是()A.B.C D解析：选A设直线l的斜率为k，则k.2在等腰三角形AOB中，AOAB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()Ay13(x3) By13(x3)Cy33(x1) Dy33(x1)解析：选D因为AOAB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kABkOA3，所以直线AB的点斜式方程为：y33(x1)3已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A1 B1C2或1 D2或1解析：选D由题意可知a0.当x0时，ya2.当y0时，x.a2，解得a2或a1.4两条直线l1：1和l2：1在同一直角坐标系中的图象可以是()解析：选A取特殊值法或排除法，可知A正确5(2015·哈尔滨模拟)函数yasin xbcos x的一条对称轴为x，则直线l：axbyc0的倾斜角为()A45° B60°C120° D135°解析：选D由函数yf(x)asin xbcos x的一条对称轴为x知，f(0)f，即ba，直线l的斜率为1，倾斜角为135°.6(2014·安徽高考)过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D法一：如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.由题意知OP2，OA1，则sin ，所以30°，BPA60°.故直线l的倾斜角的取值范围是.选D.法二：设过点P的直线方程为yk(x)1，则由直线和圆有公共点知1，解得0k.故直线l的倾斜角的取值范围是.二、填空题7若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(2，2)三点共线，则ab的最小值为_解析：根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为1，又C(2，2)在该直线上，故1，所以2(ab)ab.又ab>0，故a<0，b<0.根据基本不等式ab2(ab)4，从而0(舍去)或4，故ab16，当且仅当ab4时取等号即ab的最小值为16.答案：168设点A(1,0)，B(1,0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是_解析：b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A