组合的应用举例

组合的应用举例,平罗中学 石占军,2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。,3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（ ）,1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种 。,9,9,C,一、课前练习,混合问题，先“组”后“排”,5、 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至到区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？,解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。,4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）,D,6、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法_种.,解：采用先组后排方法:,7、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?,解法一：先组队后分校（先分堆后分配）,解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.,例16本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法：,解：（1）根据分步计数原理得到：,种,二、例题解析,1、不同元素的分配问题,（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；,解析：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种 方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每 份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、 丙三名同学有 种方法根据分步计数原理所以,可得：,因此，分为三份，每份两本一共有15种方法,所以,点评：“平均分组”问题,一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素）,共有,种方法.,例16本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法：,（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；,解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有 种方法,例16本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法：,（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 一人3本；,解：（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有 种方法,例36本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法：,解：（5）可以分为三类情况：,“2、2、2型” 的分配情况，有 种方法；,“1、2、3型” 的分配情况，有 种方法；,“1、1、4型”，有 种方法，,所以，一共有N=90+360+90540种方法,（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本,将6本不同的书按下列要求分发，求各有多少种不同的方法： （1）按1，2，3的本数分成3组； （2）按1，2，3的本数分发给3个人； （3）平均分发给3个人； （4）平均分成3组； （5）按1，1，4的本数分成3组； （6）按1，1，4的本数分发给3个人.,60,360,90,15,15,90,变式练习1：,例2.有10个运动员名额，再分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共_种分法。,将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为,2、相同元素的分配问题,隔板法,变式2：（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中， 一共有多少种不同的放法？ （2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有 一个空盒的放法有多少种？,解：（1）根据分步计数原理：一共有 种方法；,（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个 “捆绑”在一起看成一个元素有 种方法；第二步：从 四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法，所以， 一共有 144种方法,例3.有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划 右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分 在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?,分析：设集合A=只会划左舷的3个人，B=只会划右舷的4个人，C=既会划左舷又会划右舷的5个人,先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：A中有3人；A中有2人；C中有1人；A中有1人，C中有2人；C中有3人。,第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B,C中选3人， 有 种 ,以下类同,3、元素交叉的分配问题,练习3： 在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人既能当钳工，又能当车工，现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问有多少种不同的选法？,4、混合问题，先“组”后“排”,例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？,解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有： 种可能。,练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法_种.,解：采用先组后排方法:,2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?,解法一：先组队后分校（先分堆后分配）,解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.,三、巩固练习,1、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ） A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种,A,2、 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ） A24种 B36种 C48 D72种,B,3、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） （A） 种（B） 种 （C） 种 （D） 种,4、某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条 线段两端的灯泡不同色，则每种颜 色的灯泡都至少用一个的安装方 法共有 种（用数字作答）.,216,5、 某施工小组有男工7人，女工3人，选出3人中有女工1人，男工2人的不同选法有多少种？,7、要从7个班级中选出10人来参加数学竞赛，每班至少选1人，这10个名额有多少种分配方法?,6、由10人组成的课外文娱小组，有4人只会跳舞，有4人只会唱歌，2人均能。若从中选出3个会跳舞和3个会唱歌的人的排演节目，共有多少种不同的选法？,8、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级 至少一个，共有多少种不同的分配方法？ （2）10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若 名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分 配方法？,9、 将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至 少1球的放法有多少种？,10、 已知方程x+y+z+w=100，求这个方程的正整数解的个数。,变式： 将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少种？,11、马路上有编号为1，2，3，10的十盏路 灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯 关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在 两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的 关灯方法？,解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间 的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数 为 种方法,1按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法； 2对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置； 3对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除法或分类解决； 4按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题.,四、归纳小结,5.需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题，如：将3个人分成3组，每组一个人，显然只有1种分法，而不是 种,一般地，将m、n个不同元素均匀分成n组，有 种分法.,6、 排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常见的问题有：选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步. 7、解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.,1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （2）分成三份，每份两本； （3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本； （6）分给5个人，每人至少一本； （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。,五、课后提升,2、(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?,3、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？,5、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？,4、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?,6、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？,