组合的应用举例
29页1、组合的应用举例,平罗中学 石占军,2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求张、王两人中至多有一个人参加,则有不同的选法种数为 。,3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队,如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生,则不同的选法种数为( ),1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习,每个车间2人,若甲必须分到一车间,乙和丙不能分到二车间,则不同的分法有 种 。,9,9,C,一、课前练习,混合问题,先“组”后“排”,5、 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试,至到区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能?,解:由题意知前5次测试恰有4次测到次品,且第5次测试是次品。,4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员,则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有( ),D,6、某学习小组有5个男生3个女生,从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动,每项活动至少有1人参加,则有不同参赛方法_种.,解:采用先组后排方法:,7、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士
2、,不同的分配方法共有多少种?,解法一:先组队后分校(先分堆后分配),解法二:依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.,例16本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法:,解:(1)根据分步计数原理得到:,种,二、例题解析,1、不同元素的分配问题,(1)分给甲、乙、丙三人,每人2本;,解析:(2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有 种 方法,这个过程可以分两步完成:第一步分为三份,每 份两本,设有x种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、 丙三名同学有 种方法根据分步计数原理所以,可得:,因此,分为三份,每份两本一共有15种方法,所以,点评:“平均分组”问题,一般地:将mn个元素均匀分成n组(每组m个元素),共有,种方法.,例16本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法:,(3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本;,解:(3)这是“不均匀分组”问题,一共有 种方法,例16本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法:,(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本, 一人3本;,解:(4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有 种方法,例36本不同的书,按下列要求各有多少种不同
3、 的选法:,解:(5)可以分为三类情况:,“2、2、2型” 的分配情况,有 种方法;,“1、2、3型” 的分配情况,有 种方法;,“1、1、4型”,有 种方法,,所以,一共有N=90+360+90540种方法,(5)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本,将6本不同的书按下列要求分发,求各有多少种不同的方法: (1)按1,2,3的本数分成3组; (2)按1,2,3的本数分发给3个人; (3)平均分发给3个人; (4)平均分成3组; (5)按1,1,4的本数分成3组; (6)按1,1,4的本数分发给3个人.,60,360,90,15,15,90,变式练习1:,例2.有10个运动员名额,再分给7个班,每 班至少一个,有多少种分配方案?,解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板,可把名额分成份,对应地分给个班级,每一种插板方法对应一种分法共_种分法。,将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为,2、相同元素的分配问题,隔板法,变式2:(1)四个不同的小球
4、放入四个不同的盒中, 一共有多少种不同的放法? (2)四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有 一个空盒的放法有多少种?,解:(1)根据分步计数原理:一共有 种方法;,(2)(捆绑法)第一步:从四个不同的小球中任取两个 “捆绑”在一起看成一个元素有 种方法;第二步:从 四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法,所以, 一共有 144种方法,例3.有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划 右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分 在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?,分析:设集合A=只会划左舷的3个人,B=只会划右舷的4个人,C=既会划左舷又会划右舷的5个人,先分类,以集合A为基准,划左舷的3个人中,有以下几类情况:A中有3人;A中有2人;C中有1人;A中有1人,C中有2人;C中有3人。,第类,划左舷的人已选定,划右舷的人可以在B,C中选3人, 有 种 ,以下类同,3、元素交叉的分配问题,练习3: 在11名工人中,有5人只能当钳工,4人只能当车工,另外2人既能当钳工,又能当车工,现从11人中选出4人当钳工,4人当车工,问有多少种不同
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