清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学
第三章：线弹性断裂力学,断裂模式及对称性分析 三型裂纹裂尖场的渐近解 复变函数（回顾） 三型裂纹裂尖场的解 应力强度因子K K-G关系 计算K的常用方法 讨论,反平面剪切问题（一个相对简单的问题）,整理可得调和方程（或由Navier方程直接简化）,渐近解,为什么有如此渐近的形式？,M.L. Williams. On the stress distribution at the base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics 24, 109-115 (1957).,分离变量法,George Rankine Irwin,G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).,应力强度因子KI,II,III与G之间的关系,G 与裂纹延伸时能量的变化有关,KI,II,III仅与裂纹尖端区域的场强度有关,KI,II,III与G之间的关系?,首先假设固定位移加载,针对III型裂纹,B,针对I、II、III型裂纹,如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？,【作业题3-5】,复合型裂纹,可由能量平衡来理解,逐渐放松保持力过程,这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。,裂纹扩展,能量释放率和应力强度因子关系是假定裂纹呈直线延伸下得到的。 在II型和III型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很多材料的实验观察表明，裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为I型断裂占优的路径。 此外，I型断裂最为危险。,平面应变断裂韧性：,实验测量应力强度因子,电测法,光弹法,热弹性法（Thermoelastic Method）,数字图像相关（Digital image correlation）,裂尖应变,裂尖温度场,裂尖位移场,裂尖主应力,基于应力强度因子的断裂准则,KIC 材料的断裂韧性（Fracture toughness）,实验测量KIC,ASTM,Compact tension (CT),Single edge notch bend (SENB),平面应变,Crack mouth opening displacement (CMOD),此前，只讨论了裂尖的渐近解，这里将讨论如何结合几何和载荷条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法： Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function） 权函数法（Weight function） 线性叠加法 （Principle of superposition）,应力强度因子求解,应力强度因子的计算：,Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function）,之前的解析函数构造时只关心裂尖处的渐近场及边界条件，Westergaard应力函数方法将满足所有边界，并能给出全场解。,I、II型裂纹,应力函数,应力场,位移场,Westergaard应力函数法（ Westergaard stress function）,在前面的平面问题求解中,需要确定两个解析函数j(z)和y(z) ，其实在对称和反对称特例下，可利用Westergaard函数进一步简化为一个解析函数的求解。,以I型问题为例：,利用了对称性,A为实常数,解析延拓（定义见下页）：,I型裂纹的Westergaard应力函数：,用Westergaard应力函数表示应力、位移,应力场,位移场,当 x2= 0时剪应力为零，这意味着裂纹面是主平面。,I型裂纹,例：双轴载荷下含中心裂纹的无穷大板,是ZI(z)两个枝点，可猜测,无穷远处的边界条件：,自由裂纹表面：,【作业题3-6】 双轴加载，但水平与竖直方向远场应力不同,一旦Westergaard函数已知，便可知道全场解,转换坐标到裂尖,I型裂纹：,应力场,位移场,裂纹面上,还可用Westergaard函数法考察共行和共列多个裂纹的相互作用（参见Koiter，1959的工作）。如何猜测Westergaard函数？,【题3-7】对于周期性分布的共行、共列裂纹，如何提边界条件？并利用Westergaard函数证明裂尖应力强度因子。,共行裂纹的交互作用为加强各自的应力强度因子，而共列裂纹则起相互屏蔽作用。,II裂纹的Westergaard应力函数,裂纹面上,应力场,位移场,II型中心裂纹承受远场均匀剪切,III型裂纹的复变函数表示方法,应力场,位移场,III型中心裂纹承受远场均匀剪切,为了统一,根据边界条件猜测Westergaard函数,边界条件,裂纹面,无穷远,III型裂纹面上承受集中力,附：复变函数的性质,III型半无限场裂纹面上承受集中力,权函数法,顾名思义，加权累加，所以要求线弹性,Bueckner, H.F., “A Novel Principle for the Computation of Stress Intensity Factors.” Zeitschrift f ür Angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 50, 1970, pp. 529545.,Rice, J.R., “Some Remarks on Elastic Crack-Tip Stress Fields.” International Journal of Solids and Structures, Vol. 8, 1972, pp. 751758.,James R. Rice,为什么用机械总势能？（勒让德变换来改变变量）,把上述想法连续化，可得如下求解步骤： （1）对一裂纹几何，若已知一种载荷下的解,权函数定义为,（2）利用权函数可计算其它载荷下的应力强度因子,不需要知道权函数的全场值，只需计算与ta、fa载荷功共轭的部分权函数的分布值。,（3）该载荷下的位移场满足,权函数是唯一的，与加载状态无关，仅表示裂纹构型的特征！,左端还是右端的应力强度因子？,【题3-8】如何计算左端的应力强度因子？（仍用此坐标系表达）,无限长裂纹,半无限长裂纹,Green函数,权函数方法也可用于三维裂纹,线性叠加法,对于线弹性材料，只要断裂模式是一致的，应力强度因子也可以叠加。,已知b、c的应力强度因子，如何求a的强度因子？,线性叠加法,思考题？,讨 论,渐近解与全场解的比较,渐近解,全场解,K主导区域,坐标在裂纹中心,l为最小的特征尺度,小 结 （二）,K与G之间的关系 求解K的方法Westergaard函数法、权函数法、线性叠加法 讨论关于渐近解与全场解的比较,作 业 题,【作业题3-5】：仿照讲义中III型裂纹KIII与G之间的推导，独立推导I、II型裂纹KI 、KII与G之间的关系。 （1）给出A图中裂尖使裂纹闭合的应力表示； （2）给出B图中裂尖上下表面的位移差表示； （3）代入如下公式计算KI 、KII与G之间的关系。,A,B,作 业 题,【作业题3-6】：如图所示，一中心裂纹在无限大板中承受双轴均匀拉伸，水平和竖直方向的远场应力分别为s1和s2 。验证如下的Westergaard函数满足所有边界条件（包括裂纹表面及无穷远处）。,作 业 题,【题3-7】对于周期性分布的共行、共列裂纹，如何提边界条件？利用如下给定的Westergaard函数证明裂尖应力强度因子的表示式。尝试猜测II型周期裂纹的Westergaard函数，并得出其裂尖应力强度因子。,【题3-8】如何计算左端的应力强度因子？（用图中坐标系表达）,作 业 题,【题3-9】利用权函数方法求解如图所示的裂纹A和B端的应力强度因子。,作 业 题,【题3-10】如下图所示，一倾斜裂纹在无限大板中，推导裂尖的应力强度因子KI和KII。当s1=s2时， KI和KII退化为什么？,作 业 题,
