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清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学

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    • 1、第三章:线弹性断裂力学,断裂模式及对称性分析 三型裂纹裂尖场的渐近解 复变函数(回顾) 三型裂纹裂尖场的解 应力强度因子K K-G关系 计算K的常用方法 讨论,反平面剪切问题(一个相对简单的问题),整理可得调和方程(或由Navier方程直接简化),渐近解,为什么有如此渐近的形式?,M.L. Williams. On the stress distribution at the base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics 24, 109-115 (1957).,分离变量法,George Rankine Irwin,G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).,应力强度因子KI,II,III与G之间的关系,G 与裂纹延伸时能量的变化有关,KI,II,III仅与裂纹尖端区域的场强度有关,KI,II

      2、,III与G之间的关系?,首先假设固定位移加载,针对III型裂纹,B,针对I、II、III型裂纹,如果不是固定位移载荷加载(如固定力),是何结论?,【作业题3-5】,复合型裂纹,可由能量平衡来理解,逐渐放松保持力过程,这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。,裂纹扩展,能量释放率和应力强度因子关系是假定裂纹呈直线延伸下得到的。 在II型和III型加载下裂纹扩展往往会发生拐折和分叉。对很多材料的实验观察表明,裂纹实际的扩展路径会逐渐转向为I型断裂占优的路径。 此外,I型断裂最为危险。,平面应变断裂韧性:,实验测量应力强度因子,电测法,光弹法,热弹性法(Thermoelastic Method),数字图像相关(Digital image correlation),裂尖应变,裂尖温度场,裂尖位移场,裂尖主应力,基于应力强度因子的断裂准则,KIC 材料的断裂韧性(Fracture toughness),实验测量KIC,ASTM,Compact tension (CT),Single edge notch bend (SENB),平面应变,Crack mouth opening displ

      3、acement (CMOD),此前,只讨论了裂尖的渐近解,这里将讨论如何结合几何和载荷条件来确定应力强度因子。主要有以下一些方法: Westergaard应力函数法( Westergaard stress function) 权函数法(Weight function) 线性叠加法 (Principle of superposition),应力强度因子求解,应力强度因子的计算:,Westergaard应力函数法( Westergaard stress function),之前的解析函数构造时只关心裂尖处的渐近场及边界条件,Westergaard应力函数方法将满足所有边界,并能给出全场解。,I、II型裂纹,应力函数,应力场,位移场,Westergaard应力函数法( Westergaard stress function),在前面的平面问题求解中,需要确定两个解析函数j(z)和y(z) ,其实在对称和反对称特例下,可利用Westergaard函数进一步简化为一个解析函数的求解。,以I型问题为例:,利用了对称性,A为实常数,解析延拓(定义见下页):,I型裂纹的Westergaard应力函数:

      4、,用Westergaard应力函数表示应力、位移,应力场,位移场,当 x2= 0时剪应力为零,这意味着裂纹面是主平面。,I型裂纹,例:双轴载荷下含中心裂纹的无穷大板,是ZI(z)两个枝点,可猜测,无穷远处的边界条件:,自由裂纹表面:,【作业题3-6】 双轴加载,但水平与竖直方向远场应力不同,一旦Westergaard函数已知,便可知道全场解,转换坐标到裂尖,I型裂纹:,应力场,位移场,裂纹面上,还可用Westergaard函数法考察共行和共列多个裂纹的相互作用(参见Koiter,1959的工作)。如何猜测Westergaard函数?,【题3-7】对于周期性分布的共行、共列裂纹,如何提边界条件?并利用Westergaard函数证明裂尖应力强度因子。,共行裂纹的交互作用为加强各自的应力强度因子,而共列裂纹则起相互屏蔽作用。,II裂纹的Westergaard应力函数,裂纹面上,应力场,位移场,II型中心裂纹承受远场均匀剪切,III型裂纹的复变函数表示方法,应力场,位移场,III型中心裂纹承受远场均匀剪切,为了统一,根据边界条件猜测Westergaard函数,边界条件,裂纹面,无穷远,III型

      5、裂纹面上承受集中力,附:复变函数的性质,III型半无限场裂纹面上承受集中力,权函数法,顾名思义,加权累加,所以要求线弹性,Bueckner, H.F., “A Novel Principle for the Computation of Stress Intensity Factors.” Zeitschrift f r Angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 50, 1970, pp. 529545.,Rice, J.R., “Some Remarks on Elastic Crack-Tip Stress Fields.” International Journal of Solids and Structures, Vol. 8, 1972, pp. 751758.,James R. Rice,为什么用机械总势能?(勒让德变换来改变变量),把上述想法连续化,可得如下求解步骤: (1)对一裂纹几何,若已知一种载荷下的解,权函数定义为,(2)利用权函数可计算其它载荷下的应力强度因子,不需要知道权函数的全场值,只需计算与ta、fa载荷功共轭的部

      6、分权函数的分布值。,(3)该载荷下的位移场满足,权函数是唯一的,与加载状态无关,仅表示裂纹构型的特征!,左端还是右端的应力强度因子?,【题3-8】如何计算左端的应力强度因子?(仍用此坐标系表达),无限长裂纹,半无限长裂纹,Green函数,权函数方法也可用于三维裂纹,线性叠加法,对于线弹性材料,只要断裂模式是一致的,应力强度因子也可以叠加。,已知b、c的应力强度因子,如何求a的强度因子?,线性叠加法,思考题?,讨 论,渐近解与全场解的比较,渐近解,全场解,K主导区域,坐标在裂纹中心,l为最小的特征尺度,小 结 (二),K与G之间的关系 求解K的方法Westergaard函数法、权函数法、线性叠加法 讨论关于渐近解与全场解的比较,作 业 题,【作业题3-5】:仿照讲义中III型裂纹KIII与G之间的推导,独立推导I、II型裂纹KI 、KII与G之间的关系。 (1)给出A图中裂尖使裂纹闭合的应力表示; (2)给出B图中裂尖上下表面的位移差表示; (3)代入如下公式计算KI 、KII与G之间的关系。,A,B,作 业 题,【作业题3-6】:如图所示,一中心裂纹在无限大板中承受双轴均匀拉伸,水平和竖直方向的远场应力分别为s1和s2 。验证如下的Westergaard函数满足所有边界条件(包括裂纹表面及无穷远处)。,作 业 题,【题3-7】对于周期性分布的共行、共列裂纹,如何提边界条件?利用如下给定的Westergaard函数证明裂尖应力强度因子的表示式。尝试猜测II型周期裂纹的Westergaard函数,并得出其裂尖应力强度因子。,【题3-8】如何计算左端的应力强度因子?(用图中坐标系表达),作 业 题,【题3-9】利用权函数方法求解如图所示的裂纹A和B端的应力强度因子。,作 业 题,【题3-10】如下图所示,一倾斜裂纹在无限大板中,推导裂尖的应力强度因子KI和KII。当s1=s2时, KI和KII退化为什么?,作 业 题,

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