江苏省苏州市2019届高三上学期期末考试数学试卷含答案

2019届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2019.1 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合A1，3，5，B3，4，则集合AB.2. 复数z(i为虚数单位)的虚部是.3. 某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在6080分的学生人数是.4. 连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为.5. 已知3sin()cos ，则tan()的值是.6. 如图所示的流程图中，若输入的a，b分别为4，3，则输出n的值为.7. 在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(3，1)，则该双曲线的离心率为.8. 曲线yx2ex在x0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为.9. 如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为.10. 在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x2y10上的圆的标准方程为.11. 设Sn是等比数列an的前n项和，若，则.12. 设函数f(x)若方程f(x)kx3有三个相异的实根，则实数k的取值范围是.13. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BMDNMN，则·的最小值是.14. 设函数f(x)，若对任意x1(，0)，总存在x22，)，使得f(x2)f(x1)，则实数a的取值范围是.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC，E，F分别是A1C1，BC的中点.求证：(1) 平面ABE平面B1BCC1；(2) C1F平面ABE.16. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知2bccos A2ca.(1) 求角B的大小；(2) 设函数f(x)cos x·sin(x)，求f(A)的最大值.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为的椭圆E的左顶点为A，点A到右准线的距离为6.(1) 求椭圆E的标准方程；(2) 过点A且斜率为的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于点M，求点M的坐标.18. (本小题满分16分)如图，长途车站P与地铁站O的距离为 千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量，l1，l2的夹角为45°，OP与l1的夹角满足tan (其中0<<)，现要经过P修一条直路分别与道路l1，l2交汇于A，B两点，并在A，B处设立公共自行车停放点.(1) 已知修建道路PA，PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A，B之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修单价分别为n元/千米和2n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A，B点的位置.19. (本小题满分16分)已知函数f(x)ax3bx24a(a，bR).(1) 当ab1时，求f(x)的单调增区间；(2) 当a0时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，求的值；(3) 当a0时，若f(x)<ln x的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围.20. (本小题满分16分)定义：对于任意nN*，xnxn2xn1仍为数列xn中的项，则称数列xn为“回归数列”.(1) 已知an2n(nN*)，判断数列an是否为“回归数列”，并说明理由；(2) 若数列bn为“回归数列”，b33，b99，且对于任意nN*，均有bn<bn1成立.求数列bn的通项公式；求所有的正整数s，t，使得等式bt成立.2019届高三模拟考试试卷(四)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M的逆矩阵M1，求实数m，n的值.B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C的方程是4cos .在以极点为原点，极轴为x轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数).若直线l与圆C相切，求实数m的值.C. (选修45：不等式选讲)设a，b，c都是正数，求证：(abc).【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 已知正四棱锥SABCD的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围成的三角形的面积为.(1) 求概率P(2)；(2) 求的分布列和数学期望.23. 如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD平面ABCD，PAAD，PA与平面PBC所成角的正弦值为.(1) 求侧棱PA的长；(2) 设点E为AB中点，若PAAB，求二面角BPCE的余弦值.2019届高三模拟考试试卷(苏州)数学参考答案及评分标准1. 32. 13. 254. 5. 6. 37. 8. 9. 210. (x5)2(y2)21711. 12. (2，22)13. 8814. 0，115. 证明：(1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC.因为AB平面ABC，所以BB1AB.(2分)因为ABBC，BB1BCB，BB1，BC平面B1BCC1，所以AB平面B1BCC1.(4分)又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.(6分)(2) 取AB中点G，连结EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.(8分)因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，(11分)所以C1FEG.因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(14分)16. 解：(1) 在ABC中，因为2bcos A2ca，由正弦定理，所以2sin Bcos A2sinCsin A.(2分)在ABC中，sin Csin(AB)，所以2sin Bcos A2sin(AB)sin A，即2sin Bcos A2sin Acos B2cos AsinBsin A，所以sin A2cos Bsin A，(4分)在ABC中，sin A0，所以cos B.又B(0，)，所以B.(6分)(2) f(x)cos x·(sin x·cos cos x·sin )(8分)sin x·cos xcos2xsin 2x(cos 2x1)sin(2x)，(10分)所以f(A)sin(2A).在ABC中，B，且ABC，所以A(0，)，(12分)所以2A(，2)，所以当2A，即A时，f(A)的最大值为.(14分)17. 解：(1) 设椭圆方程为1(a>b>0)，半焦距为c，因为椭圆的离心率为，所以，即a2c.因为A到右准线的距离为6，所以a3a6，(2分)解得a2，c1，(4分)所以b2a2c23，所以椭圆E的标准方程为1.(6分)(2) 直线AB的方程为y(x2)，由得x23x20，解得x2或x1，则点B的坐标为(1，).(9分)由题意，得右焦点F(1，0)，所以直线BF的方程为y(x1).(11分)由得7x26x130，解得x1或x，(13分)所以点M坐标为(，).(14分)18. 解：(1) 以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，因为0<<，tan ，所以OP：yx.设P(2t，t)，由OP，得t1，所以P(2，1).(2分)(解法1)由题意得2m·PAm·PB，所以BP2PA，所以点B的纵坐标为3.因为点B在直线yx上，所以B(3，3)，(4分)所以ABPB.(解法2)由题意得2m·PAm·PB，所以2.设A(a，0)(a>0)，又点B在射线yx(x>0)上，所以可设B(b，b)(b>0)，由2，得所以(4分)所以A(，0)，B(3，3)，AB.答：点A，B之间的距离为千米.(6分)(2) (解法1)设总造价为S，则Sn·OA2n·OB(OA2OB)·n，设yOA2OB，要使S最小，只要y最小.当ABx轴时，A(2，0)，这时OA2，OB2，所以yOA2OB2810.(8分)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x2)1(k0).令y0，得点A的横坐标为2，所以OA2；令xy，得点B的横坐标为.(10分)因为2>0，且>0，所以k<0或k>1，此时yOA2OB2，y.(12分)当k<0时，y在(，1)上递减，在(1，0)上递增，所以yminy|k19<10，此时A(3，0)，B(，)；(14分)当k>1时，y21010>10.综上，要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点千米处.(16分)(解法2)如图，作PMOA交OB于点M，交y轴于点Q，作PNOB交OA于点N，因为P(2，1)，所以OQ1.因为BOQ45°，所以QM1，OM，所以PM1，PNOM.由PMOA，PNOB，得，(8分)所以1.(10分)设总造价为S，则Sn·OA2n·OB(OA2OB)·n，设yOA2OB，要使S最小，只要y最小.yOA2OB(OA2OB)()5()9，(14分)当且仅当OAOB时取等号，此时OA3，OB.答：要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点千米处.(16分)19. 解：(1) 当ab1时，f(x)x3x24，f(x)3x22x.(2分)令f(x)>0，解得x>0或x<，所以f(x)的单调增区间是(，)和(0，).(4分)(2) (解法1)f(x)3ax22bx，令f(x)0，得x0或x.(6分