2018年北京高二（理数）（下）期末试卷

1 / 3 2018 北京人大附中高二（下）期末 数 学(理) 2018 年 7 月 6 日 制卷人：于金华 杨良庆 审卷人：梁丽平 说明：说明：本练习共三道大题本练习共三道大题 2020 道小题，共道小题，共 4 4 页，满分页，满分 150150 分，分，考试时间考试时间 120120 分钟分钟。 一、选择题 (本大题共 8 8 小题，每小题 5 5 分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案填涂在答题纸的相应位置.） 1 1 0(e 2 )d x xx 等于（ ） （A）1 （B）e 1 （C）e （D）e1 2已知(1 3 )nx的展开式中含有 2 x项的系数是 54，则n （ ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 3函数( )yf x的导函数( )yfx的图象如右图所示，则( )yf x的 图象可能是（ ） 4已知从 A 口袋中摸出一个球是红球的概率为 1 4 ，从 B 口袋中摸出一个球是红球的概率为 1 5 ，现从两个口袋中各 摸出一个球，那么这两个球至少有一个不是红球的概率是（ ） （A） 1 20 （B） 19 20 （C） 3 5 （D） 7 20 5下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A）65cos （B）65sin （C）65cos （D）65sin 6已知随机变量 i 满足(1) ii Pp,(0)1 ii Pp ,1, 2i .若 12 1 0 2 pp,则（ ） （A） 12 ( )()EE， 12 ( )()DD （B） 12 ( )()EE， 12 ( )()DD （C） 12 ( )()EE， 12 ( )()DD （D） 12 ( )()EE， 12 ( )()DD 7集合 23 0123 |222 Px xaaaa，其中0,1,0,1,2,3 i ai则集合P中元素的个数及所有元素之和 分别是（ ） （A）16，120 （B）8，120 （C）16，60 （D）8，60 8设函数 32, e, ln ,e xxx y axx 的图象上存在两点 ,P Q,使得POQ 是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标 原点),且斜边的中点恰好在y轴上,则实数a的取值范围是（ ） （A） 1 (0, e1 （B） 1 (, e1 （C） 1 + ) e1 , （D）R 二、填空题(本大题共 6 6 小题，每小题 5 5 分，共 3030 分请把结果填在答题纸的相应位置.) 9已知复数 12i 1i z ，其中i是虚数单位，则z的模是_ 10圆 12cos 12sin x y (为参数)被x轴截得的弦长为_ 11现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多 2 人，则不同的带队方案有 _种 （用数字作答） 12观察下列一组等式 x O 2 / 3 1+2=3 2+3+4+5=14 3+4+5+6+7+8=33 4+5+6+7+8+9+10+11=60 照此规律，第n个等式的右端为_ 13已知函数 2 2 ,0, ( ) ln(1),0. xx x f x xx 若| ( )|f xax恒成立，则a的取值范围是_ 14给定集合1, 2,3, n An，映射: nn fAA，若f满足： 当, n i jA ij时，( )( )f if j； 任取 n mA，若2m，则有 (1),(2),( )mfff m 则称映射f为 nn AA是一个“优映射”例如：用表 1 表示的映射 33 :fAA是一个优映射 表 1 表 2 （1）已知表 2 表示的映射 44 :fAA是一个优映射，请把表 2 补充完整（只需填出一个满足条件的映射） ； （2） 若映射 1010 :fAA是“优映射”， 且方程( )f ii的解恰有 6 个， 则这样的“优映射”的个数是_ 三、解答题 (本大题共 6 6 小题，共 8080 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 15 （本小题 13 分） 甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得 0 分两人 4 局的得分情况如下： 甲 6 6 9 9 乙 7 9 x y （）若从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率； （）如果7xy，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为X,求X的分布列和数学 期望； （）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值 （结论不要求证 明） 16 （本小题 13 分） 已知数列 n a中， 1 1a ，且 1 2 () 2 n n n a an a N. （）求 234 ,aaa的值； （）试猜想这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明 17 （本小题 13 分） 已知函数 32 ( )4f xaxbxx的极小值为8，其导函数( )yfx的图象经过点( 2,0)，如图所示 （）求( )f x的解析式； （）若函数( )yf xk在区间 3, 2上有两个不同的零点， 求实数k的取值范围 i 1 2 3 ( )f i 2 3 1 i 1 2 3 4 ( )f i 3 y x O -2 3 / 3 18 （本小题 13 分） 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买 这种零件作为备件，每个 200 元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时 应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率， 记X表示 2 台机器三年 内共需更换的易损零件数，n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 （）求X的分布列； （）若要求()0.5P Xn，确定n的最小值； （）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n 与20n 之中选其一，应选用哪个？ 19 （本小题 14 分） 已知函数 e ( )(ln ) () x f xa xxa x R （）当1a 时，试求( )f x在(1,(1)f处的切线方程； （）当0a 时，试求( )f x的单调区间； （）若存在 12 (0,1),(0,1)xx，使得 12 ( )()f xf x，试求a的取值范围 20 （本小题 14 分） 对于项数为m的有穷数列 n a,令 12 max ,(1, 2,) kk ba aakm,即 k b为 12 ,a a, k a中的最大值, 称数 列 n b为 n a的上界数列, 如 1, 3, 2, 5 的上界数列是 1, 3, 3, 5 （）若各项均为正整数的数列 n a的上界数列为 2, 4, 4, 5, 写出所有的 n a； （）设 n b是 n a的上界数列, 满足 1km k abC (C为常数,1, 2,km),求证: kk ba； （）若各项为正整数的数列 n a的项数5m , 其上界数列 n b满足 1 1b , 5 10b , 求满足条件的数列 n a和 n b的个数 频数 40 20 0 8 9 10 11 更换的易损零件数