江苏省盐城市一中、建湖高中、阜宁中学、滨海中学2019年四校联考期中（理）数学试题含答案解析

1 江苏省盐城市一中、建湖高中、阜宁中学、滨海中学江苏省盐城市一中、建湖高中、阜宁中学、滨海中学 20192019 年四校联考期中（理）数学试卷年四校联考期中（理）数学试卷 考试时间：考试时间：120120 分钟分钟 试卷满分：试卷满分：160160 分分 一、填空题（本题包括一、填空题（本题包括 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分分. .） 1.已知复数 满足，则=_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据复数模的性质求解. 【详解】因为，所以， 因此 【点睛】本题考查复数的模及其性质，考查基本运算能力，属基础题. 2.从 300 名学生(其中男生 180 人，女生 120 人)中按性别用分层抽样的方法抽取 40 人参加比赛，则应该抽 取男生人数为_ 【答案】30 【解析】 各层之比为 应该抽取男生人数为：. 3.某校连续 5 天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平 均数为 18，则 =_. 【答案】8 【解析】 【分析】 根据茎叶图计算平均数. 【详解】由茎叶图得 【点睛】本题考查茎叶图以及平均数，考查基本运算能力，属基础题. 2 4.如图是一个算法伪代码，则输出的 的值为_. 【答案】5 【解析】 【分析】 执行循环结构流程图，即得结果. 【详解】执行循环结构流程图得,结束循环，输出. 【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题. 5.若，则 x 的值为_ 【答案】1 或 2 【解析】 【分析】 根据组合数性质得方程，解得结果. 【详解】因为，所以或，解得或. 【点睛】本题考查组合数性质，考查基本分析与运算能力，属基础题. 6.连续抛掷一颗骰子 2 次，则掷出的点数之和不超过 9 的概率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据古典概型概率公式求解. 【详解】连续抛掷一颗骰子 2 次，共有 36 种基本事件，其中掷出的点数之和不超过 9 的事件有 种，故所求概率为. 【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析与运算能力，属基础题. 3 7.在平面直角坐标系 xOy 中，中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线 的离心率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先设双曲线标准方程，得渐近线方程，再根据条件列方程，解得结果. 【详解】由题意设双曲线标准方程为，则渐近线方程为， 所以 【点睛】本题考查双曲线渐近线以及离心率，考查基本分析与运算能力，属基础题. 8.曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先根据导数几何意义求切线斜率，得切线方程，再求三角形面积. 【详解】因为，所以， 与与两坐标轴交点为，因此围成的三角形面积为 【点睛】本题考查导数几何意义以及直线方程，考查基本分析与运算能力，属基础题. 9.已知若，则=_ 【答案】-14 【解析】 【分析】 先根据赋值法求 ，再利用二项式定理求特定项系数. 【详解】令，得， 因为， 所以含项系数为 4 【点睛】本题考查二项式定理，考查基本分析与运算能力，属基础题. 10.有 4 名优秀学生 、 、 、 全部被保送到中大、华工、广工 3 所学校，每所学校至少去 1 名，则不同的 保送方案共 种。 【答案】36. 【解析】 试题分析：分两步进行，先把 4 名学生分为 2-1-1 的三组，有种分法， 再将 3 组对应 3 个学校，有种情况， 则共有 6×6=36 种保送方案 故答案为：36 考点：分步计数原理的运用. 11.已知的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数之和为_. 【答案】512 【解析】 【分析】 根据二项式系数列式求 ，再根据二项展开式性质求奇数项的二项式系数之和. 【详解】因为的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，所以 从而奇数项的二项式系数之和为 【点睛】本题考查二项式展开式中二项式系数及其性质，考查基本分析与运算能力，属基础题. 12.过椭圆 C：的右焦点 F 作斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，P 为右准线与 x 轴的交点， 记直线 PA 的斜率为，直线 PB 的斜率为，则的值为_ 【答案】8 【解析】 【分析】 联立直线方程与椭圆方程解出 A，B 两点坐标，再利用斜率公式化简得结果. 5 【详解】设，则， 由得 所以 【点睛】本题考查直线与椭圆交点以及斜率公式，考查基本分析与运算能力，属基础题. 13.已知则的最小值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 先解出 ,再化简，利用二次函数性质求最值. 【详解】因为， 因此，当且仅当时取等号,即的最小 值为 . 【点睛】本题考查条件最值问题以及二次函数性质，考查综合分析与运算能力，属中档题. 14.已知函数设，且函数的图象经过四个象限，则实数 的 取值范围为_. 【答案】 （1，3） 【解析】 【分析】 先画图，根据图象确定经过四个象限的条件，解得实数 的取值范围. 【详解】因为，如图， 而 6 所以 【点睛】本题考查含绝对值函数性质以及利用导数研究函数零点，考查综合分析与运算能力，属中档题. 二、解答题：二、解答题：(15(15、1616、1717 题均为题均为 1414 分，分，1818、1919、2020 题均为题均为 1616 分，请在答题纸的指定区域内分，请在答题纸的指定区域内 答题，并写出必要的计算、证明、推理过程答题，并写出必要的计算、证明、推理过程) ) 15.某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间，将测试结果按如下方式分成五组： 第一组，第二组,第五组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩大于等于 14 秒且小于 16 秒为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； (2)若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率. 【答案】 （1）人（2）4/7 【解析】 试题分析：（1）根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在14，16）内的人数为 50×0.16+50×0.38，这是 频率，频数和样本容量之间的关系 （2）根据频率分步直方图做出要用的各段的人数，设出各段上的元素，用列举法写出所有的事件和满足条 件的事件，根据概率公式做出概率 解：（1）由频率分布直方图知，成绩在14，16）内的 人数为 50×0.16+50×0.38=27（人） 7 该班成绩良好的人数为 27 人 （2）由频率分布直方图知，成绩在13，14）的人数为 50×0.06=3 人， 设为 x，y，z 成绩在17，18）的人数为 50×0.08=4 人，设为 A，B，C，D 若 m，n13，14）时，有 xy，zx，zy，3 种情况； 若 m，n17，18）时，有 AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 种情况； 若 m，n 分别在13，14）和17，18）内时， A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD z zA zB zC zD 共 12 种情况 基本事件总数为 21 种，事件“|mn|1”所包含的基本事件个数有 12 种 P（|mn|1）= 点评：本题是一个典型的古典概型问题，本题可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举 法来解题是这一部分的精髓 16.若二项式的展开式中的常数项为第 5 项. (1)求 的值； (2)求展开式中系数最大的项； 【答案】 （1）10； （2）. 8 【解析】 【分析】 （1）根据二项式的展开式的通项公式求出 的值， （2）根据二项式的展开式的通项公式系数列不等式组，解 得系数最大时的项数，再代入通项公式得结果. 【详解】(1)因为二项式的展开式的通项公式为， 所以 x 的指数为. 又因为的展开式中的常数项为第五项， 所以,且，解得 n=10. (2)因为，其系数为. 设第 k+1()项的系数最大， 则， 化简得即， 因为,所以，即第四项系数最大，且. 【点睛】本题考查二项式的展开式的通项公式及其应用，考查综合分析与运算能力，属中档题. 17.如图，在四棱锥中，底面是边长为 2 的正方形，平面 为等腰直角三 角形，, 为的中点， 为的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值. 【答案】 （1） ； （2）. 【解析】 【分析】 （1）设 AD 的中点为 G，根据面面垂直性质定理得平面 ABCD，建立空间直角坐标系，设立各点坐标， 9 利用向量数量积得夹角，即得结果， （2）利用方程组解得平面 PBD 的法向量，利用向量数量积得法向 量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果. 【详解】 （1）如图，设 AD 的中点为 G，连接 PG，因为为等腰直角三角形，=90 ，所以.又平面 平面 ABCD,所以平面 ABCD. 以 G 为坐标原点，GA,GP 所在直线分别为 x,z 轴建立空间直角坐标系， 可得 A（1,0,0） ，P（0,0,1）,B(1,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0),则 E（ ,1, ）,F(- ,1, ), 所以,.故， 故异面直线 ED 与 BF 所成角的余弦值为 . （2）由（1）知，,设平面 PBD 的法向量为， 则 所以令 所以平面 PBD 的一个法向量为 =(1,-1,-1). 易知平面 ABD 的一个法向量为=(0,0,1)， 所以， 由图可知，二面角 A-BD-P 为锐二面角， 所以二面角 A-BD-P 的余弦值为. 【点睛】本题考查利用空间向量求线线角与二面角，考查综合分析与运算能力，属中档题. 18.如图，某地村庄 P 与村庄 O 的距离为千米，从村庄 O 出发有两条道路，经测量，的夹角为， OP 与 的夹角 满足（其中） ，现要经过 P 修一条直路分别与道路交汇于两点，并在 处设立公共设施 10 （1）已知修建道路的单位造价分别为 2m 元/千米和 m 元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点 之间的距离； （2）考虑环境因素，需要对段道路进行翻修，段的翻修单价分别为 n 元/千米和元/千米，要 使两段道路的翻修总价最少，试确定点的位置 【答案】 （1）千米； （2）A 位于距 O 点 3 千米处，B 位于距 O 点 3 千米处. 【解析】 【分析】 （1）先建立坐标系，求出 P 点坐标，再根据条件求 B 点坐标，最后根据两点间距离公式得结果， （2）先设 直线方程，解得 A,B 坐标，用坐标表示翻修总价，最后利用导数求函数最值. 【详解】 （1）以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴建立平面直角坐标系， 因为，所以， 设，由，得，所以 由题意得，所以，所以 B 点纵坐标为， 又因为点 B 在直线上，所以， 所以 答：之间的距离为千米 （2）设总造价为 S，则， 设，要使 S 最小，只要 y 最小 当轴时，这时， 所以 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线方程为， 令，得点 A 的横坐标为，所以， 令，得点 B 的横坐标为， 因为且，所以或， 11 此时， ， 当时，y 在上递减，在上递增， 所以，此时； 当时， 综上所述，要使段道路的翻修总价最少，A 位于距 O 点 3 千米处，B 位于距 O 点 千米处 答：要使段道路的翻修总价最少，A 位于距 O 点 3 千米处，B 位于距 O 点 3 千米处 【点睛】本题考查利用导数求函数最值以及利用坐标系建立函数关系式，考查综合分析与求解能力，属 中档题. 19.在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右顶点(如图所示)，点在 椭圆的长轴上运动，且.设圆是以