安徽省巢湖市2019届高三年级三月份联考数学（理科）试题含答案解析

1 安徽省巢湖市安徽省巢湖市 2019 届高三年级三月份联考数学（理科）届高三年级三月份联考数学（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 60.0 分）分） 1.已知集合，若，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合交集和空集的概念，结合集合 A,B 的不等式，求得 的取值范围. 【详解】依题意可知当时，故选 C. 【点睛】本小题主要考查两个集合交集不为空集的知识，考查不等式的方向，属于基础题. 2.“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质，将条件和结论相互推导，根据能否推导出的情况，判断充分、必要条件. 【详解】由不等式性质可知，若，有，若 ， 不满足上述条件， 未必成立；如不能推出，故推不出，故是 既不充分也不必要条件.故选 D. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的知识，考查不等式的性质，属于基础题. 3.某位教师 2017 年的家庭总收入为 80000 元，各种用途占比统计如图所示的折线图年收入的各种用途 占比统计如图所示的条形图，已知 2018 年的就医费用比 2017 年增加了 4750 元，则该教师 2018 年的家庭总 收入为 2 A. 100000 元B. 95000 元C. 90000 元D. 85000 元 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出 2017 年的就医费用，从而求出 2018 年的就医费用，由此能求出该教师 2018 年的家庭总收入 【详解】由已知得，2017 年的就医费用为元， 年的就医费用为元， 该教师 2018 年的家庭总收入元 故选：D 【点睛】本题考查教师 2018 年的家庭总收入的求法，考查折线图和条形统计图的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 4.已知，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】，得， 而. 故选 A. 【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题. 5.若展开式中含项的系数为 21，则实数 的值为（ ） A. 3B. -3C. 2D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得展开式的通项公式，求得其中的系数，与 相乘得到；求的系数时，无解.故由 求得 的值. 3 【详解】展开式的通项公式 为 ， 所以令， 此时含的项的系数为，又令，舍去， 所以含项的系数为，所以，得.故选 A. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查乘法的分配律，考查运算求解能力，属于基础题. 6.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ） A. 2B. C. 4D. 【答案】A 【解析】 【分析】 所有截面都是等腰三角形，根据三角形的面积公式可知，当顶角为时，面积取得最大值，由此求得最大 的截面面积. 【详解】将三视图还原，可知几何体是一个轴截面的顶角为的半圆锥，故过其顶点的截面面积 .故选 A. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆锥的截面面积最大值的计算，考查三角形面积公式，属 于中档题. 7.函数的部分图象符合的是 A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用特殊值法分别计算，的值进行排除即可 【详解】故得到函数是偶函数， 图象关于 y 轴对称， 排除 C， ，排除 A，D， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法是解决本题的关键知式求图的问题常见的方 法是先通过函数的定义域和值域进行排除，再由函数的特殊值进行排除，也可以采用判断极限的方法进行排 除. 8.某次考试共有 12 个选择题，每个选择题的分值为 5 分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的， 学生对 12 个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为 分， 学生对 12 个选择题中 每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为 分， 则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 依题意可知 同学正确数量满足二项分布， 同学正确数量满足二项分布，利用二项分布的方 差计算公式分别求得两者的方差，相减得出正确结论. 【详解】设 学生答对题的个数为，则得分（分） ，所以 ，同理设 学生答对题的个数为 ，可知,，所以 ，所以.故选 A. 5 【点睛】本小题主要考查二项分布的识别，考查方差的计算，考查阅读理解能力，考查数学在实际生活中的 应用.已知随机变量 分布列的方差为，则分布列的方差为. 9.已知锐角的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且，三角形 ABC 的面积，则 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 因为三角形为锐角三角形，所以过 C 做于 D，D 在边 AB 上，如图：根据面积算出，再根据 勾股定理表示出，二次函数知识可求得 【详解】因为三角形为锐角三角形，所以过 C 作于 D，D 在边 AB 上，如图： 因为：，所以， 在三角形 ADC 中， 在三角形 BDC 中， ， 设 结合二次函数的性质得到： 故选：D 【点睛】本题考查了三角函数的应用以及二次函数的值域，最值问题；题目难度中等.这个题目考查了二元 问题的应用，一般采用的是二元化一元. 10.在中，过 点作的垂线，垂足为 ，以为折痕将折起使点 到达 点 处，满足平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） 6 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先判断出三角形为直角三角形，由此求出各条边长.根据，两两相互垂直，可知三棱锥的 外接球的直径即以，为边构造长方体的体对角线，由此计算出球的直径和半径，进而求得外接球 的表面积. 【详解】由，及可知，所以，由题可知 在三棱锥中，两两相互垂直，所以分别以，为边构造长方体，则三棱锥 的外接球的直径，所以，所以三棱锥的外接球的表 面积为.故选 D. 【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的求法，考查补形的思想，属于中档题. 11.已知双曲线 ：的左、右焦点分别为，过右焦点作其渐近线的垂线，垂足 为，交双曲线 右支于点 ，若，且，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设出渐近线方程，计算出到渐近线的距离，由此求得的值，根据双曲线的定义，求得，利用余弦 定理解方程，化简得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】依题可知，不妨设渐近线方程为，代入点到直线的距离公式得，从 而，又由双曲线的定义可知，所以在中，由余弦定理得 ，化简得，即，所以离 心率为.故选 A. 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查双曲线渐近线的求法，考查点到直 7 线的距离公式，考查余弦定理，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.求解双曲线离心率有关的问 题，首先根据题意列一个方程，根据这个方程求得的值，进而求得离心率. 12.已知数列： ；，；，；，；，则此数列的前 2036 项之和 为（ ） A. 1024B. 2048C. 1018D. 1022 【答案】C 【解析】 【分析】 根据数列的规律，先将数列分组，第一组 个数，第二组 个数，第 组个数，分别计算出各组数 的和.计算出 组数的项数和，令这个项数和等于列方程，解方程求出组数为.然后求出前组数的和 得出正确选项. 【详解】将此数列分组，第一组：；第二组：；第三组：；第 组： .而由，得 ，所以.因此前 2036 项之和正好等于前 10 组之和，由于 .故选 C. 【点睛】本小题主要考查数列求和，考查观察能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分） 13.已知向量，若向量与向量 共线，则实数 k 的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先由，得出向量的坐标表示，再由向量与向量 共线，即可求出结果. 【详解】因为向量，所以；又，向量与向量 共线，所以，解得. 故答案为 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理即可，属于基础题型. 8 14.曲线在点处的切线经过点，则 的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 对函数求导，求得在处切线的斜率，根据点斜式写出切线方程，将点坐标代入切线方程，解方 程求得 的值. 【详解】由得，所以，又当时，所以，所以切线方程为 ，将点代入切线方程，得. 【点睛】本小题主要考查函数的导数，考查曲线的切线方程的求法，考查方程的思想，属于基础题. 15.若函数在区间内有最值，则 的取值范围为_ 【答案】 【解析】 【分析】 当函数取得最值时有，由此求得 的值，根据列不等式组，解不等式组求得 的取值 范围（含有 ） ，对 赋值求得 的具体范围. 【详解】由于函数取最值时，即，又因为在区间 内有最值.所以时， 有解，所以，即， 由得，当时，当时，又，所以 的范围为 . 【点睛】本小题主要考查三角函数最值的求法，考查不等式的解法，考查赋值法，属于中档题. 16.如图， 为椭圆上一个动点，过点 作圆 ：的两条切线，切点分别为 ， ，则 当四边形面积最大时，的值为_ 9 【答案】 【解析】 【分析】 根据切线的性质得到，以及，故四边形面积最大时，即最大，根据椭圆 的性质可知当点 为椭圆的左顶点时，最大，根据向量数量积公式计算出两个向量的数量积. 【详解】连接，设，则，由切线的性质知，所以 ，故四边形面积最大时，即最大，且.易知当点 为 椭圆的左顶点时，最大，所以，如图所示， 此时， 所以， . 【点睛】本小题主要考查圆的切线的几何性质，考查椭圆的几何性质，考查向量数量积的计算，属于中档题. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分）分） 17.已知平面向量，函数. （1）求的单调区间； （2）在锐角中， ， ， 分别是内角 ， ， 所对的边，若，求周长的取值范 围. 10 【答案】 （1）单调递增区间是，单调递减区间是，.（2） 【解析】 【分析】 （1）先求得的表达式，利用正弦函数的单调区间，求得的单调区间.（2）根据正弦定理求得边的 表达式，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】解：（1）依题意， . 令， 解得的单调递增区间是， 令，. 解得的单调递减区间是，. （2）由得. 设三角形的外接圆半径为 ，根据正弦定理得. 于是 . 因为是锐角三角形且， 所以由，得，因此 的取值范围是. 而由得，所以， 所以， 即周长的取值范围是. 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理解三角 形，知识综合较多，属于中档题. 18.2018 年，中国某省的一个地区社会民间组织为年龄在 30 岁-60 岁的围棋爱好者举行了一次晋级赛，参赛 者每人和一位种子选手进行一场比赛，赢了就可以晋级，否则，就不能晋级，结果将晋级的 200 人按年龄 11 （单位：岁）分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组， 第六组，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图. （1）求实数 的值； （2）若先在第四组、第五组、第六组中按组分层抽样共抽取 10 人，然后从被抽取的这 10 人中随机抽取 3 人参加优胜比赛. 求这三组各有一人参加优胜比赛的概率； 设 为参加优胜比赛的 3 人中第四组的人数，求 的分布列和数学期望. 【答案】 （1）（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据频率和为 列方程，解方程求得 的值.（2）利用分层抽样的知识