重庆市2019届高三学业质量调研抽测4月二诊理科数学试题含答案解析

1 高高 20192019 届高三学生学业调研抽测（第二次）届高三学生学业调研抽测（第二次） 理科数学试题卷理科数学试题卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.已知 为虚数单位，复数 满足，则（ ） A. B. C. 1D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知求解出 ，再计算出模长. 【详解】 则 本题正确选项： 【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数的运算求得 ，属于基础题. 2.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分别求解出两个集合，根据交集定义求得结果. 【详解】 则 本题正确选项： 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键在于能够利用指数函数单调性和对数函数的定义域求解出两 个集合，属于基础题. 3.设，则的大小关系为（ ） 2 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据指数函数单调性可得，再利用 作为临界值可得，从而得到三者之间的关系. 【详解】 可知： 本题正确选项： 【点睛】本题考查指对数混合的大小比较问题，关键是能够利用函数的单调性进行判断，属于基础题. 4.设等比数列的前 项和为，已知，且与的等差中项为 20，则（ ） A. 127B. 64C. 63D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出等比数列的首项和公比，然后计算即可. 【详解】解：因为，所以 因为与的等差中项为， ，所以，即， 所以 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，属于基础题. 5.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 3 C. 若，且，则 D. 若直线与平面 所成角相等，则 【答案】B 【解析】 【分析】 结合空间中平行于垂直的判定与性质定理，逐个选项分析排除即可. 【详解】解：选项 A 中可能，A 错误；选项 C 中没有说是相交直线，C 错误；选项 D 中若相交， 且都与平面 平行，则直线与平面 所成角相等，但不平行，D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系，属于基础题. 6.函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据奇偶性可排除 和 两个选项，再根据时，的符号，可排除 选项，从而得到正确结果. 【详解】定义域为 为定义在上的奇函数，可排除 和 又， 当时，可排除 本题正确选项： 【点睛】本题考查函数图像的判断，解决此类问题的主要方法是利用奇偶性、特殊值、单调性来进行排除， 4 通过排除法得到正确结果. 7.运行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ） A. 9B. 10C. 11D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 将 的变化规律整理为数列的形式，求解出数列的通项，根据求解出输出时 的取值. 【详解】将 每次不同的取值看做一个数列 则， 则，则 当时，；当时， 即时，输出结果 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用循环结构的程序框图计算输出结果，由于循环次数较多，可以根据变化规律，利用数 列的知识来进行求解. 8.设函数 的一条对称轴为直线，将曲线向右平移 个单位后得到 曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 将化简为，根据对称轴可求得；通过平移得到；依次代入各个 选项，判断其单调性，从而得到结果. 【详解】 将代入可得： 又，可得： 当时，不单调，可知 错误； 当时，单调递增，可知 正确； 当时，单调递减，可知 错误； 当时，不单调，可知 错误. 本题正确选项： 【点睛】本题考查的单调性问题，主要采用整体对应的方式来进行判断.关键是能够通过辅 助角公式、对称轴方程、三角函数平移等知识准确求解出的解析式. 9.某班组织由甲、乙、丙等 5 名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个 出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】设事件 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场” ；事件 为“学生丙第一个出场” 则， 6 则 本题正确选项： 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率. 10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为 ，当点在双曲线右支上，点 在圆上运动时，则的最小值为（ ） A. 9B. 7C. 6D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据渐近线方程求出双曲线方程，根据定义可将问题转化为求解的最小值，由位置关系可知当 与圆心共线时取最小值. 【详解】由渐近线方程可知 设双曲线右焦点为 由双曲线定义可知： 则 则只需求的最小值即可得到的最小值 设圆的圆心为，半径 则 本题正确选项： 【点睛】本题考查双曲线中的最值问题，关键是能够利用双曲线的定义将问题进行转化，再根据圆外点到圆 上点的距离的最值的求解方法得到所求最值. 11.已知三棱锥各顶点均在球 上，为球 的直径，若，三棱锥的体 积为 4，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 求解出面积后，利用三棱锥的体积，构造方程，求解出点 到底面的距离，从而可知的 长度；利用正弦定理得到，勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积. 【详解】原题如下图所示： 由，得： 则 设外接圆圆心为，则 由正弦定理可知，外接圆半径： 设 到面距离为 由为球 直径可知： 则 球的半径 球 的表面积 本题正确选项： 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题的求解，关键是能够利用球心与底面外接圆圆心的连线与底面垂 直的关系构造直角三角形. 12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值 为 0，则函数的最小值为（ ） 8 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 通过函数解析式可判断出关于对称，可知取最小值时，与相切且；利用 导数求解切线斜率，求解出 ，从而可得函数最小值. 【详解】当时，则 由此可知，关于对称 又最小值为 ，即，此时 则此时函数图象如下图所示： 此时与相切于 当时， 设，则 又，可得 则 本题正确选项： 【点睛】本题考查函数最值的求解问题，关键是能够通过解析式判断出函数的对称性，从而借助导数的几何 意义求得参数的值，进而得到函数最值. 二、填空题（将答案填在答题纸上）二、填空题（将答案填在答题纸上） 13.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，得到 5 组数据：， ，根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回 归直线方程为，则_ 【答案】375 【解析】 9 【分析】 求解出 ，利用求解出 ，进而求得结果. 【详解】由题意： 则： 本题正确结果： 【点睛】本题考查回归直线方程问题，关键是明确回归直线必过，利用此点可求解得到结果. 14.若实数满足不等式组，则的最大值为_ 【答案】16 【解析】 【分析】 先由简单线性规划问题求出的最大值，然后得出的最大值. 【详解】解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分 然后画出目标函数如图中过原点虚线，平移目标函数在点 A 处取得最大值 解得点 所以最大为 4 所以的最大值为 16 故答案为：16. 【点睛】本题考查了简单线性规划问题，指数复合型函数的最值，属于基础题. 10 15.已知点是抛物线上不同的两点，且两点到抛物线 的焦点 的距离之和为 6，线段 的中点为，则焦点 到直线的距离为_ 【答案】 【解析】 【分析】 通过抛物线焦半径公式和点差法可求得抛物线和直线的方程，再利用点到直线距离求得结果. 【详解】设， 由抛物线定义可知：，则 又为中点，则 抛物线方程为 则：，两式作差得： 则 直线的方程为：，即 点 到直线的距离 本题正确结果： 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是在处理弦的中点的问题时，要熟练应用点差法来建立中点和斜 率之间的关系. 16.已知数列，对任意，总有成立，设，则数 列的前项的和为_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用求得，从而可得，则每两项作和，通过 11 裂项相消的方式求得结果. 【详解】当且时，由得： 得： 当时， 综上所述： 则： 则的前项和为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查数列裂项相消法求和，关键是能够通过的前 项和求得数列的通项公式，从而得 到的通项公式，根据的形式确定每两项作和可得裂项相消法的形式. 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.在中，角的对边分别为，已知，. （1）求的面积； （2）若，求 的值. 【答案】(1)4(2) 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理求得 的正余弦的值；利用向量数量积求得，从而可求面积；（2）利用余弦定理求得 的正余弦值，利用两角和差公式求得结果. 【详解】 （1）由正弦定理得： ， 12 的面积为 （2）， ，即 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、两角和差公式的应用问题，关键是能够熟 练应用正余弦定理处理边角关系式. 18.有两种理财产品 和 ，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间 相互独立）： 产品 ： 投资结果获利不赔不赚亏损 概率 产品 ： 投资结果获利不赔不赚亏损 概率 注： （1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于 ，求实数 的取值范 围； （2）若丙要将 20 万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种 产品投资较为理想. 【答案】(1) (2) 当时，丙可在产品 和产品 中任选一个投资；当时，丙应选产 品 投资；当时，丙应选产品 投资. 【解析】 13 【分析】 （1） “一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率，可求得；又可得，由此 可得 的范围；（2）分别求出投资 ， 两种产品的数学期望，通过数学期望的大小比较可知应选哪种产品. 【详解】 （1）记事件 为“甲选择产品 投资且获利” ，记事件 为“乙选择产品 投资且获利” ，记事件 为 “一年后甲、乙两人至少有一人投资获利” 则， 又，且， （2）假设丙选择 产品投资，且记 为获利金额（单位：万元） ，则 的分布列为 投资结果 概率 假设丙选择 产品投资，且记 为获利金额（单位：万元） ，则 的分布列为 投资结果 概率 当时，丙可在产品 和产品 中任选一个投资； 当时，丙应选产品 投资； 当时，丙应选产品 投资. 【点睛】本题考查概率统计中的独立事件的概率、数学期望的应用问题.在以期望值作决策依据进行选择时， 关键是分别求解出数学期望，依据大小关系来确定结果. 14 19.如图，在四棱锥中，底面是菱形， 为的中点，已知， . （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 【分析】 （1）分别证得，从而证得平面，进而证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标 系，分别求得平面和平面 的法向量，利用法向量夹角求得结果. 【详解】 （1）证明：连接，取的中点为 ，连接 在菱形中， 为正三角形 在中， ，由勾股定理知为等腰直角三角形 ，即 平面 又平面 平面平面 （2）解：如图，以 为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系 15 则， ， 设平面的法向量为，则，且 即，令，则， 设平面的法向量为，则， 即，令，则， 则 二面角的平面角的正弦值为 【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明、空间向