2014届陕西高考数学（文）一轮课时提升训练：2.1.1《导数与导数的运算》（北师大版）

一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·蚌埠模拟)已知f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值是()(A)(B) (C)(D)2.(2012·汉中模拟)曲线yx3x在点(1，)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()(A) (B)(C)(D)3.设曲线f(x)x3x上的点P0处的切线为2xy2，则点P0的坐标是()(A)(1,0) (B)(1,0)(C)(1，4) (D)(1,0)或(1,0)4.(2012·景德镇模拟)偶函数f(x)在(，)内可导，且f(1)2，f(x2)f(x2)，则曲线yf(x)在点(5，f(5)处切线的斜率为()(A)2 (B)2 (C)1 (D)15.已知函数f(x)xlnx.若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()(A)xy10 (B)xy10(C)xy10 (D)xy106.(2012·咸阳模拟)定义方程f(x)f(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)2x，h(x)lnx，(x)x3(x0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()(A)a>b>c(B)c>b>a(C)a>c>b (D)b>a>c二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·亳州模拟)函数y的导数为_.8.若函数f(x)4lnx，点P(x，y)在曲线yf(x)上运动，作PMx轴，垂足为M，则POM(O为坐标原点)的周长的最小值为.9.(易错题)已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2lnxb，其中a0.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b为.三、解答题(每小题15分，共30分)10.设函数f(x)x33axb(a0).若曲线yf(x)在点(1，f(1)处与直线y2相切，求a、b的值.11.函数f(x)aex，g(x)lnxlna，其中a为常数，且函数yf(x)和yg(x)的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，求此平行线的距离.【探究创新】(16分)已知曲线Cn：ynx2，点Pn(xn，yn)(xn0，yn0)是曲线Cn上的点(n1,2，).(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；(2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn，yn).答案解析1.【解析】选A.f(x)3ax26x，f(1)3a64，a.2.【解题指南】先求切线方程，再求切线与坐标轴的交点坐标，进而求三角形的面积.【解析】选A.yx21，当x1时，y2，切线方程为y(x1)，切线与x轴、y轴的交点坐标分别为(，0)，(0，)，S××.3.【解析】选A.设P0(x0，y0)，f(x)3x21.由题意，得f(x0)3x0212，x021，x0±1.当x01时，y00，满足切线方程2xy2；当x01时，y00，不满足切线方程2xy2.故P0(1,0).【误区警示】解答本题易误选D，出错的原因是忽视了切点既在函数f(x)的图像上，也在切线上.4.【解析】选A.f(x2)f(x2)，f(x4)f(x2)2)f(x2)2)f(x)，函数yf(x)的周期T4，f(x2)f(x2)，f(x2)f(x2)，同理可以推得f(x)的周期也为4.又yf(x)是偶函数，yf(x)是奇函数，f(5)f(5)f(1)2.5.【解析】选B.f(x)lnx1，x0，设切点坐标为(x0，y0)，则y0x0lnx0，切线的斜率为lnx01，所以lnx01，解得x01，y00，所以直线l的方程为xy10.6.【解析】选B.由g(x)g(x)，得2x2，x1，即a1.由h(x)h(x)，得lnx，如图易知1<b<e，由(x)(x)，得x33x2(x0).x3，即c3.c>b>a.7.【解析】y.答案：y8.【解析】f(x)(x>0)，P(x，)，M(x,0)，POM的周长为x242(当且仅当x2时取得等号).答案：429.【解析】设yf(x)与yg(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同.f(x)x2a，g(x)，由题意知f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0).即，由x02a得：x0a或x03a(舍去).即有ba22a23a2lnaa23a2lna.答案：ba23a2lna【变式备选】已知函数f(x)，g(x)alnx，aR.若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程.【解析】f(x)，g(x)(x0)，由已知得：，解得ae，xe2.两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为kf(e2)，所以切线的方程为ye(xe2)，即x2eye20.10.【解析】f(x)3x23a，曲线在点(1，f(1)处与直线y2相切，即， 解得.11.【解析】f(x)aex，g(x)，yf(x)的图像与坐标轴的交点为(0，a)，yg(x)的图像与坐标轴的交点为(a,0)，由题意得f(0)g(a)，即a.又a0， a1.f(x)ex，g(x)lnx，函数yf(x)和yg(x)的图像在其与坐标轴的交点处的切线方程分别为：xy10，xy10，两平行切线间的距离为.【方法技巧】求曲线的切线方程求曲线的切线方程，一般有两种情况：(1)求曲线yf(x)在(x0，f(x0)处的切线，此时曲线斜率为f(x0)，利用点斜式可得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；(2)求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，此时需要设出切点A(xA，yA)，表示出切线方程，再把P(x0，y0)的坐标代入切线方程，解得xA，进而写出切线方程.【变式备选】已知函数f(x)(xa)2(xb)(a，bR，ab).(1)当a1，b2时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程.(2)设x1，x2是f(x)0的两个根，x3是f(x)的一个零点，且x3x1，x3x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后成等差数列，并求x4.【解析】(1)当a1，b2时，f(x)(x1)2(x2)，因为f(x)(x1)( 3x5)，故f(2)1，f(2)0，所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为yx2.(2)因为f(x)3(xa)(x)，由于a<b，故a<.所以f(x)的两个极值点为xa，x.不妨设x1a，x2，因为x3x1，x3x2，且x3是f(x)的零点，故x3b.又因为a2(b)，所以x1，x4，x2，x3成等差数列.所以x4(a)，所以存在实数x4满足题意，且x4.【探究创新】【解析】(1)y2nx，y|2nxn，切线ln的方程为：yn·x n22nxn(xxn).即：2nxn·xyn·x n20，令x0，得ynx n2，Qn(0，nx n2).(2)设原点到ln的距离为d，则d，|PnQn|.所以，当且仅当14n2x n 2，即x n 2(xn0)时，等号成立，此时，xn，所以，Pn(，).