北京市朝阳区2019届高三第一次（3月一模）数学（理）试卷含答案

1 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学数学 （理）（理） 20193 本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在 试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项 中，选出符合题目要求的一项 1已知集合，集合，则 |1Ax x 2 |4Bx xAB A B C D |2x x |12xx |12xxR 2在复平面内，复数对应的点位于 12i i z A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象 限 3的展开式中的常数项为 4 1 ()x x A B C D 126612 4若函数 则函数的值域是 2 2 ,1, ( ) log,1 x x f x xx , ( )f x A B C D(,2)(,20,)(,0)(0,2) 5如图，函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式( )f x( )f x 2 可以是 A( )sin(2) 3 f xx B( )sin(4) 6 f xx C( )cos(2) 3 f xx D( )cos(4) 6 f xx 6记不等式组所表示的平面区域为“点”是“”的 0, 3, y yx ykx D( 1,1)D1k A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 ），则该三棱锥的体积1 为 A4 B2 C 8 3 D 4 3 8某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是 14，10，8若这三天中至少 正（主）视图 俯视图 侧（左）视图 3 有一天开车上班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是 A5 B6 C7 D8 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分把答案填在答题卡上分把答案填在答题卡上 9双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是 2 2 1 4 x y 10执行如图所示的程序框图，则输出的 值为 x 11在极坐标系中，直线与圆相交于两点，则_ cos14cos,A BAB 12能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线若， ( )f x 0,2 (0)(2)0ff 则在内无零点”为假命题的一个函数是 ( )f x(0,2) 13天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层 （如图 1 所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石 （如图 2 所示）上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共 有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有 9 块，从第 二环起，每环的扇面形石块数比前一环多 9 块，则第二十七环的扇面形石块数是 _；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 14在平面内，点是定点，动点满足，则集合ACB,| |1ABAC 0AB AC 所表示的区域的面积是 =+,12|P APABAC 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过 程程 4 15（本小题满分 13 分） 在中，的面积等于，且ABC21a 120AABC3bc （）求 的值；b （）求的值cos2B 16（本小题满分 13 分） 某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了 50 名乘客，统计其乘 车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过 40 分钟）将统 计数据按分组，制成频率分布直方图：5,10),10,15),15,20),35,40 乘 乘 乘 乘 乘 乘 乘 乘 乘 乘 0.036 乘 乘 O 40 0.048 0.008 0.016 0.052 O 40 5101520253035 乘 乘 /乘 乘 0.048 0.012 0.028 0.036 0.012 0.040 乘 乘 乘 乘 /乘 乘 乘 乘 乘 乘 乘 乘 乘 乘 乘 乘 3530252015105 假设乘客乘车等待时间相互独立 （）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取 1 人，记为；从乙站的乘客A 中随机抽取 1 人，记为.用频率估计概率，求“乘客,乘车等待时间都小于 20 分钟”BAB 的概率； （）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取 3 人，表示乘车等待时间X 小于 20 分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.X 17（本小题满分 14 分） 如图，在多面体中，平面平面四边形为正方形，ABCDEFADEF ABCDADEF 5 四边形为梯形，且，ABCD/AD BC90BAD1ABAD3BC （）求证：；AFCD （）求直线与平面所成角的正弦值；BFCDE （）线段上是否存在点，使得直线平面? 若存在，求的值；若BDM/CEAFM BM BD 不存在，请说明理由 18（本小题满分 13 分） 已知函数 且. ln() ( ) ax f x x (Ra0)a （）当时，求曲线在点处的切线方程；1a ( )yf x(1,(1)f （）当时，求证：；1a ( )1f xx （）讨论函数的极值( )f x 19（本小题满分 14 分） 已知点为椭圆上任意一点，直线与圆 00 (,)M xy 2 2 :1 2 x Cy 00 :22l x xy y 交于两点，点为椭圆的左焦点 22 (1)6xy,A BFC （）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；CF （）求证：直线 与椭圆相切；lC （）判断是否为定值，并说明理由AFB 20（本小题满分 13 分） 在无穷数列中，是给定的正整数， n a 12 ,a a 21nnn aaa Nn * （）若，写出的值； 12 3,1aa 910100 ,a aa 6 （）证明：数列中存在值为 的项； n a0 （）证明：若互质，则数列中必有无穷多项为 12 ,a a n a1 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学（理）答案 20193 一、选择题：（本题满分 40 分） 题号12345678 答案 BDC AACDB 二、填空题：（本题满分 30 分） 题号91011121314 答案 1 12 2 3 （答案不唯一） 2 (1)yx24334023 三、解答题：三、解答题：（本题满分 80 分） 15 (本小题满分 13 分) 解：（）由已知得 222 1 =sin= 3, 2 ( 21) =2cos120 . SbcA bcbc 7 整理得 22 =4, =17. bc bc 解得或 =1, =4 b c ， =4, =1. b c 因为，所以.8 分bc1b （）由正弦定理， sinsin ab AB 即 3 7 2 sin= 1421 B 所以 .13 分 22 713 cos2 =1 2sin1 2() 1414 BB 16(本小题满分 13 分) 解：（）设表示事件“乘客乘车等待时间小于 20 分钟”，表示事件“乘MAN 客乘车等待时间小于 20 分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间都小于 20 分钟”BCA,B 由题意知，乘客乘车等待时间小于 20 分钟的频率为A ，故的估计值为0.0120.0400.048) 50.5()P M0.5 乘客乘车等待时间小于 20 分钟的频率为B ，故的估计值为0.0160.0280.036) 50.4()P N0.4 8 又. 121 ( )()()() 255 P CP MNP MP N= 故事件的概率为.6C 1 5 分 （）由（）可知，乙站乘客乘车等待时间小于 20 分钟的频率为，0.4 所以乙站乘客乘车等待时间小于 20 分钟的概率为. 2 5 显然，的可能取值为且.X0,1,2,3 2 (3, ) 5 X B 所以； 03 3 327 (0)( ) 5125 P XC 12 3 2354 (1)( ) 55125 P XC ；. 22 3 2336 (2)( ) 55125 P XC 33 3 28 (3)( ) 5125 P XC 故随机变量的分布列为X X 0123 P 27 125 54 125 36 125 8 125 .13 分 26 3 55 EX 17(本小题满分 14 分) 解：解：（）证明：因为为正方形，ADEF 所以AFAD 又因为平面平面，ADEF ABCD 且平面平面，ADEF ABCDAD 9 所以平面AF ABCD 所以4 分AFCD （）由（）可知，平面，所以，AF ABCDAFADAFAB 因为，所以两两垂直90BAD,AB AD AF 分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）,AB AD AFxyz 因为，1ABAD3BC 所以，(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)ABCDEF 所以( 1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BFDCDE 设平面的一个法向量为，CDE( , , )x y zn 则 即 0, 0. DC DE n n 20, 0. xy z 令，则，2x 1y 所以(2, 1,0)n 设直线与平面所成角为，BFCDE 则.9 分 |2 ( 1)|10 sin|cos,| 552 BF n （）设， (0 1) BM BD ， 设，则 111 ,M x y z， 111 1,( 1,1,0)xy z 10 所以，所以， 111 1,0xyz 1, ,0M 所以1, ,0AM 设平面的一个法向量为，则 AFM 000 (,)xyzm 0, 0. AM AF m m 因为，所以 0,0,1AF 00 0 (1)0, 0. xy z 令，则，所以 0 x 0 1y( ,1,0) m 在线段上存在点，