江苏省南通市2019届高三第二次调研数学试卷含答案

2019届高三第二次调研测试数学学科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1 已知集合，若，则实数a的值为 【答案】42 复数（为虚数单位）的实部为 【答案】3 某单位普通职工和行政人员共280人为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为 【答案】354.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选 i 1S 2While < 7S S × i  i i + 2End WhilePrint S（第5题）中的概率为 【答案】5 执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为 【答案】306. 函数的定义域为 【答案】7. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为 【答案】8. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为，则b的值为 【答案】9 在ABC中，已知C = 120°，sinB = 2 sinA，且ABC的面积为，则AB的长为 【答案】10设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA = 2 m，PB = 3 m，PC = 4 m，则球O的表面积为 m2【答案】11定义在R上的奇函数满足，且在区间上，则函数的零点的个数为 【答案】512已知关于的不等式( a，b，cR ) 的解集为 x | 3 < x < 4，则的最小值为 【答案】13在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆上，且，点P（3，-1），设的中点M的横坐标为x0，则x0的所有值为  【答案】14已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为若，则的最大值为 【答案】44二、解答题：本大题共6小题，共计90分15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a =，b = ，其中（1）若ab，求的值；（2）若，求的值【解】（1）因为ab，所以，2分所以 4分因为，所以于是 解得 6分（2）因为，所以，又，故因为，所以，又，解得10分因此， 12分 14分16. (本小题满分14分)ABCA1B1C1ED（第16题）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1B1C1设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E求证：（1）DE平面ABB1A1； （2）BC1平面A1B1C【证明】（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱， 所以侧面ACC1 A1为平行四边形又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点所以DEAB3分又ABÌ平面ABB1 A1，DEË平面ABB1 A1，所以DE平面ABB1A1 6分（2）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面A1B1C1又因为A1B1Ì平面A1B1C1，所以BB1A1B1 8分又A1B1B1C1，BB1，B1C1Ì平面BCC1B1，BB1B1C1 = B1，所以A1B1平面BCC1B1 10分又因为BC1Ì平面BCC1B1，所以A1B1BC112分又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1B1C又A1B1B1C = B1，A1B1，B1C Ì平面A1B1C，所以BC1平面A1B1C14分17. (本小题满分14分) 图是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M已知HM = 5 m，BC = 10 m，梯形ABFE的面积是FBC面积的2.2倍设FMH = （1）求屋顶面积S关于的函数关系式； （2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其 高度成正比，比例系数为16 k现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为 何值时，总造价最低？ （第17题）ABCDEFHMABCDEFHM【解】（1）由题意FH平面ABCD，FMBC，又因为HM Ì平面ABCD，得FHHM 2分在RtFHM中，HM = 5，所以4分因此FBC的面积为从而屋顶面积所以S关于的函数关系式为() 6分（2）在RtFHM中，所以主体高度为 8分所以别墅总造价为 10分记，所以，令，得，又，所以12分-0+列表：所以当时，有最小值答：当为时该别墅总造价最低 14分18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，椭圆C2：，C2与C1的长轴长之比为1，离心率相同（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点为椭圆C2上一点 射线与椭圆C1依次交于点，求证：为定值； 过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：为定值【解】（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意，解得，因此椭圆C2的标准方程为 3分（2）1°当直线OP斜率不存在时，则 4分PAB（第18题）xyO2°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为，代入椭圆C1的方程，消去y，得，所以，同理6分所以，由题意，同号，所以，从而所以为定值 8分设，所以直线的方程为，即，记，则的方程为，代入椭圆C1的方程，消去y，得，因为直线与椭圆C1有且只有一个公共点，所以，即，将代入上式，整理得， 12分同理可得，所以为关于k的方程的两根，从而14分又点在椭圆C2：上，所以，所以为定值 16分19（本小题满分16分）已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）设函数在处的切线方程为，若函数是上的单调增函数，求的值；（3）是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由 【解】（1）当时，函数的定义域为则，令得，或 2分12+0-0+极大值极小值列表：所以函数的极大值为；极小值为 4分（2）依题意，切线方程为，从而，记，则在上为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立 8分法一：变形得在上恒成立 ，所以，又，所以 10分法二：变形得在上恒成立 ，因为（当且仅当时，等号成立），所以，从而，所以10分（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，不妨，则处切线的方程为：，处切线的方程为：因为，为同一直线，所以12分即整理得， 14分消去得， 令，由与，得，记，则，所以为上的单调减函数，所以从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点 16分20（本小题满分16分）已知数列的各项均不为零设数列的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn， 且 （1）求的值； （2）证明：数列是等比数列；（3）若对任意的恒成立，求实数的所有值【解】（1）因为，令，得，因为，所以令，得，即，因为，所以3分（2）因为， 所以， 得，因为，所以， 5分所以， 当时，得，即，因为，所以又由（1）知，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列 8分（3）由（2）知，因为对任意的，恒成立，所以的值介于和之间因为对任意的恒成立，所以适合 10分若，当为奇数时，恒成立，从而有恒成立记，因为，所以，即，所以（*），从而当时，有，所以不符 13分若，当为奇数时，恒成立，从而有恒成立由（*）式知，当时，有，所以不符综上，实数的所有值为0 16分21【选做题】A选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知m，nR，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M及另一个特征值【解】由题意得，即所以即矩阵. 5分矩阵的特征多项式，解得矩阵的另一个特征值为.10分B选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为( t为参数)，椭圆C的参数方程为.设直线与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长【解】由题意得，直线的普通方程为椭圆C的普通方程为 4分由联立，解得A，B， 8分所以10分C选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x，y，z均是正实数，且求证：【证】由柯西不等式得， 5分因为，所以所以，当