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江苏省南通市2019届高三第二次调研数学试卷含答案

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  • 文档编号:89122508
  • 上传时间:2019-05-18
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    • 1、2019届高三第二次调研测试数学学科一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分1 已知集合,若,则实数a的值为 【答案】42 复数(为虚数单位)的实部为 【答案】3 某单位普通职工和行政人员共280人为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况,现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本已知从普通职工中抽取的人数为49,则该单位行政人员的人数为 【答案】354.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动,则甲、乙两人中恰有1人被选i 1S 2While 7S S i i i + 2End WhilePrint S(第5题)中的概率为 【答案】5 执行如图所示的伪代码,则输出的S的值为 【答案】306. 函数的定义域为 【答案】7. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象,则的值为 【答案】8. 在平面直角坐标系中,已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为,则b的值为 【答案】9 在ABC中,已知C = 120,sinB = 2 sinA,且ABC的面积为,则AB的长为 【答案】10设P,A,B,C为球O表面上的四个点,PA,PB,PC两两垂直,且PA = 2

      2、m,PB = 3 m,PC = 4 m,则球O的表面积为 m2【答案】11定义在R上的奇函数满足,且在区间上,则函数的零点的个数为 【答案】512已知关于的不等式( a,b,cR ) 的解集为 x | 3 x 4,则的最小值为 【答案】13在平面直角坐标系xOy中,已知点A,B在圆上,且,点P(3,-1),设的中点M的横坐标为x0,则x0的所有值为 【答案】14已知集合,从集合中取出个不同元素,其和记为;从集合中取出个不同元素,其和记为若,则的最大值为 【答案】44二、解答题:本大题共6小题,共计90分15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中,设向量a =,b = ,其中(1)若ab,求的值;(2)若,求的值【解】(1)因为ab,所以,2分所以 4分因为,所以于是 解得 6分(2)因为,所以,又,故因为,所以,又,解得10分因此, 12分 14分16. (本小题满分14分)ABCA1B1C1ED(第16题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1为正方形,A1B1B1C1设A1C与AC1交于点D,B1C与BC1交于点E求证:(1)DE平面ABB1A1; (2)BC

      3、1平面A1B1C【证明】(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱, 所以侧面ACC1 A1为平行四边形又A1C与AC1交于点D,所以D为AC1的中点,同理,E为BC1的中点所以DEAB3分又AB平面ABB1 A1,DE平面ABB1 A1,所以DE平面ABB1A1 6分(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以BB1平面A1B1C1又因为A1B1平面A1B1C1,所以BB1A1B1 8分又A1B1B1C1,BB1,B1C1平面BCC1B1,BB1B1C1 = B1,所以A1B1平面BCC1B1 10分又因为BC1平面BCC1B1,所以A1B1BC112分又因为侧面BCC1B1为正方形,所以BC1B1C又A1B1B1C = B1,A1B1,B1C 平面A1B1C,所以BC1平面A1B1C14分17. (本小题满分14分) 图是一栋新农村别墅,它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图,屋顶由四坡屋面构成,其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H,M已知HM = 5 m,BC = 10 m,

      4、梯形ABFE的面积是FBC面积的2.2倍设FMH = (1)求屋顶面积S关于的函数关系式; (2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k为正的常数),下部主体造价与其 高度成正比,比例系数为16 k现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅,试问:当为 何值时,总造价最低? (第17题)ABCDEFHMABCDEFHM【解】(1)由题意FH平面ABCD,FMBC,又因为HM 平面ABCD,得FHHM 2分在RtFHM中,HM = 5,所以4分因此FBC的面积为从而屋顶面积所以S关于的函数关系式为() 6分(2)在RtFHM中,所以主体高度为 8分所以别墅总造价为 10分记,所以,令,得,又,所以12分-0+列表:所以当时,有最小值答:当为时该别墅总造价最低 14分18(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:,椭圆C2:,C2与C1的长轴长之比为1,离心率相同(1)求椭圆C2的标准方程;(2)设点为椭圆C2上一点 射线与椭圆C1依次交于点,求证:为定值; 过点作两条斜率分别为的直线,且直线与椭圆C1均有且只有一个公共点,求证:为定值【解】(1)设椭圆C2的

      5、焦距为2c,由题意,解得,因此椭圆C2的标准方程为 3分(2)1当直线OP斜率不存在时,则 4分PAB(第18题)xyO2当直线OP斜率存在时,设直线OP的方程为,代入椭圆C1的方程,消去y,得,所以,同理6分所以,由题意,同号,所以,从而所以为定值 8分设,所以直线的方程为,即,记,则的方程为,代入椭圆C1的方程,消去y,得,因为直线与椭圆C1有且只有一个公共点,所以,即,将代入上式,整理得, 12分同理可得,所以为关于k的方程的两根,从而14分又点在椭圆C2:上,所以,所以为定值 16分19(本小题满分16分)已知函数(1)当时,求函数的极值;(2)设函数在处的切线方程为,若函数是上的单调增函数,求的值;(3)是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点?并说明理由 【解】(1)当时,函数的定义域为则,令得,或 2分12+0-0+极大值极小值列表:所以函数的极大值为;极小值为 4分(2)依题意,切线方程为,从而,记,则在上为单调增函数,所以在上恒成立,即在上恒成立 8分法一:变形得在上恒成立 ,所以,又,所以 10分法二:变形得在上恒成立 ,因为(当且仅当时,等号成立),所以,从

      6、而,所以10分(3)假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点,不妨,则处切线的方程为:,处切线的方程为:因为,为同一直线,所以12分即整理得, 14分消去得, 令,由与,得,记,则,所以为上的单调减函数,所以从而式不可能成立,所以假设不成立,从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点 16分20(本小题满分16分)已知数列的各项均不为零设数列的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn, 且 (1)求的值; (2)证明:数列是等比数列;(3)若对任意的恒成立,求实数的所有值【解】(1)因为,令,得,因为,所以令,得,即,因为,所以3分(2)因为, 所以, 得,因为,所以, 5分所以, 当时,得,即,因为,所以又由(1)知,所以,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列 8分(3)由(2)知,因为对任意的,恒成立,所以的值介于和之间因为对任意的恒成立,所以适合 10分若,当为奇数时,恒成立,从而有恒成立记,因为,所以,即,所以(*),从而当时,有,所以不符 13分若,当为奇数时,恒成立,从而有恒成立由(*)式知,当时,有,所以不符综上,实数的所有值为0 16分21【选做题】A选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知m,nR,向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量,求矩阵M及另一个特征值【解】由题意得,即所以即矩阵. 5分矩阵的特征多项式,解得矩阵的另一个特征值为.10分B选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线的参数方程为( t为参数),椭圆C的参数方程为.设直线与椭圆C交于A,B两点,求线段AB的长【解】由题意得,直线的普通方程为椭圆C的普通方程为 4分由联立,解得A,B, 8分所以10分C选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)已知x,y,z均是正实数,且求证:【证】由柯西不等式得, 5分因为,所以所以,当

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