2014届湖北高考数学（理）一轮复习专项训练：6.4《基本不等式》（新人教a版）

6.4基本不等式(45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1. (易错题)下列不等式a2+1>2a;x2+1;2;4.其中正确的不等式的个数是( )(A)1(B)2(C)3(D)42.已知x>0,y>0,且若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是( )(A)m4或m-2(B)m2或m-4(C)-2<m<4(D)-4<m<23.(2012·武汉模拟)已知数列an为等差数列，数列bn是各项均为正数的等比数列，且公比q1,若a1=b1,a2011=b2011,则a1006与b1006的大小关系是( )(A)a1006=b1006 (B)a1006b1006(C)a1006b1006(D)a1006b10064.（2011·乌鲁木齐模拟）已知x0，y0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是( )（A）3（B）4（C）（D）5.(2012·鄂州模拟)某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么,要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )(A)5 km处(B)4 km处(C)3 km处(D)2 km处6.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12，则的最小值为( )(A)4(B)(C)1(D)2二、填空题（每小题6分，共18分）7.(2012·武汉模拟)已知x0,y0,2x+y=的最小值是_.8. (预测题)若对任意x0,a恒成立，则a的取值范围是_9.x,y,z为正实数，x-y+2z=0，则的最大值为_.三、解答题（每小题15分，共30分）10.已知x0，y0，且2x+8y-xy=0，求（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值.11.（2012·银川模拟）某食品加工厂定期购买玉米，已知该厂每天需用玉米6吨，每吨玉米的价格为1 800元，玉米的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买玉米每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次玉米，才能使平均每天所支付的费用最少?【探究创新】（16分）设矩形ABCD（AB>AD）的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后交CD于点P，如图，设AB=x,求ADP的面积的最大值，及此时x的值.答案解析1.【解析】选A.a2+1-2a=(a-1)20，故错；2-1=1,等号成立的条件为x=0，故对；当a,b均大于零时，a+b，即2，故错；4等号不成立，故错，故选A.2.【解析】选D.x>0,y>0，且x+2y=(x+2y)()=8，当且仅当,即4y2=x2,x=2y，又即x=4,y=2等号成立.(x+2y)min=8,要使x+2y>m2+2m恒成立，只需(x+2y)min>m2+2m成立，即8>m2+2m，解得-4<m<2.3.【解析】选B.a1=b1，a2011=b2011且bn0,.q1，由基本不等式得即a1006b1006.4.【解题指南】由已知的等式用x表示y,代入要求式子，转化为函数的最值问题.【解析】选B.因为x+2y+2xy=8，所以，所以x+2y=x+=4(当且仅当x+1=，即x=2时等号成立，此时y=1），选B.【一题多解】本题可以利用基本不等式转化为一元二次不等式求解.因为所以2xy()2,所以x+2y+2xyx+2y+，设x+2y=A，则8，即A2+4A-320，解此不等式得A-8（舍去）或A4，即x+2y4.最小值为4.5.【解析】选A.令y1=,y2=k2x,当x=10 km时，y1=2万元，y2=8万元，2=,即k1=20,且8=k2×10,即当且仅当即x=5 km时取“=”.6.【解题指南】作出可行域确定最大值点，从而得a,b的关系式，利用“1”的代换求解.【解析】选A.作出可行域如图由图可知目标函数过A点时z取最大值，由得故4a+6b=12,即当且仅当3b=2a时等号成立，又2a+3b=6，即,b=1时等号成立.7.【解析】x0,y0,且2x+y=,答案：8.【解析】因为x0，所以2（当且仅当x=1时取等号），所以有即的最大值为，故a.答案：,+)【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：cf(x)恒成立cf(x)max;cf(x)恒成立cf(x)min.【变式备选】已知x>0，y>0,xy=x+2y,若xym-2恒成立，则实数m的最大值是_.【解析】由x>0,y>0,xy=x+2y,得xy8，等号当且仅当x=2y时取得.又m-2xy恒成立，故只需m-28,即m10.m的最大值为10.答案：109.【解题指南】由已知用x,z代换y后，分子分母同除以xz后利用基本不等式求解.【解析】=.等号当且仅当x=2z时取得.答案：10.【解题指南】把2x+8y-xy=0转化为即可.【解析】（1）由2x+8y-xy=0，得，又x0,y0，则得xy64，当且仅当时，等号成立.所以xy的最小值为64.（2）方法一：由2x+8y-xy=0，得，x0,y2,则18，当且仅当y-2=，即y=6,x=12时，等号成立.x+y的最小值为18.方法二：由2x+8y-xy=0，得，则x+y=10+=18.当且仅当,且时等号成立，x+y的最小值为18.11.【解题指南】平均每天所支付的费用=，先列出平均每天所支付的费用的函数解析式，再利用基本不等式求其最值.【解析】设该厂应每隔x天购买一次玉米，其购买量为6x吨，由题意知，玉米的保管等其他费用为36x+6(x-1)+6(x-2)+6×1=9x(x+1)，设平均每天所支付的费用为Y1元，则=9x+10 809+10 809=10 989，当且仅当，即x=10时取等号.该厂每隔10天购买一次玉米,才能使平均每天所支付的费用最少.【变式备选】围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面围墙利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，所需费用为y元.（1）将y表示为x的函数；（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.【解析】（1）设矩形的另一边长为a m，则y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360由已知xa=360,得,所以y=225x+-360(x>0).(2)x0，,y=225x+-36010 440.当且仅当225x=时，等号成立.即当x=24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元.【探究创新】【解析】AB=x,AD=12-x,又DP=PB,AP=AB-PB=AB-DP,即AP=x-DP,(12-x)2+PD2=(x-PD)2,得PD=12-,AB>AD,6<x<12,ADP的面积S=AD·DP=（12-x）(12-)=108-6（x+）108-6·=108-当且仅当即时取等号，ADP面积的最大值为，此时