2014届陕西高考数学（文）一轮课时提升训练：3.8《正弦定理、余弦定理的应用举例》（北师大版）

一、选择题(每小题6分，共36分)1.如果在测量中，某渠道斜坡坡度为，设为坡角，那么cos等于()(A)(B)(C)(D)2.线段AB外有一点C，ABC60°，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始几小时后，两车的距离最小()(A) (B)1 (C) (D)23.(2012·三明模拟)在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高是()(A)米 (B)米(C)200米 (D)200米4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()(A)锐角三角形 (B)直角三角形(C)钝角三角形 (D)由增加的长度决定5.某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()(A)15米(B)5米 (C)10米 (D)12米6.一船向正北方向匀速航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时()(A)5海里 (B)5海里(C)10海里 (D)10海里二、填空题(每小题6分，共18分)7.某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为30°，塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为米.8.(2012·合肥模拟)如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行.当与满足条件时，该船没有触礁危险.9.(易错题)气象部门预报，在距离码头A南偏东45°方向400千米B处的台风中心正以每小时20千米的速度向北偏东15°方向沿直线移动，以台风中心为圆心，距台风中心100千米以内的地区都将受到台风影响，据以上预报估计，码头A将受到台风影响的时间为小时.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·西安模拟)某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量ADBD14，BC10，AC16，CD.(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低，请说明理由.11.(2012·皖南八校模拟)据气象台预报，距S岛正东方向300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°角的方向移动，在距台风中心270 km及以内的地区将受到台风的影响.问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由.【探究创新】(16分)如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路.已知AB120 km，BAC75°，ABC45°.有一辆车(称甲车)以每小时96 km的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车(称乙车)以每小时120 km的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟.已知早上8点时甲车从车站A，乙车从车站B同时开出.(1)计算A，C两站距离及B，C两站距离；(2)若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换；(3)求10点时甲、乙两车的距离.(参考数据：1.4，1.7，2.4，18.2)答案解析1.【解题指南】坡度是坡角的正切值，可根据同角三角函数关系式求出cos.【解析】选B.因为tan，则sincos，代入sin2cos21得：cos.2.【解析】选C.如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD20080x，BE50x，y2(20080x)2(50x)22×(20080x)·50x·cos60°，整理得y212 900x242 000x40 000(0x2.5)，当x时y2最小，即y最小.3.【解析】选A.设塔高为x米，则由题意得200tan30°(200x)tan60°，解得x.4.【解析】选A.设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2a2b2，ab>c.新的三角形的三边长为ax、bx、cx，知cx为最长边，其对应角最大.而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值为正，则最大角为锐角，那么它为锐角三角形.5.【解题指南】作出图形确定三角形，找到要用的角度和边长，利用余弦定理求得.【解析】选C.如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45°，则OCOAh.在RtAOD中，ADO30°，则ODh，在OCD中，OCD120°，CD10，由余弦定理得：OD2OC2CD22OC·CD·cosOCD，即(h)2h21022h×10×cos120°，h25h500，解得h10或h5(舍去).6.【解析】选C.如图，依题意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°，从而CDCA10海里，在直角三角形ABC中，可得AB5海里，于是这只船的速度是10(海里/小时).7.【解析】如图，用AD表示楼高，AE与水平面平行，E在线段BC上，设塔高为h，因为CAE30°，BAE15°，ADBE60，则AE12060，在RtAEC中，CEAE·tan30°(12060)×6040，所以塔高为604060(12040)米.答案：120408.【解析】由题可知，在ABM中，根据正弦定理得 ，解得BM，要使船没有触礁危险需要BMsin(90°)>n，所以与的关系满足mcoscos>nsin ()时，该船没有触礁危险.答案：mcoscos>nsin()9.【解析】设经过t小时台风到达C处，码头A受到影响，则BC20t，由题意知：AC100，得，4002(20t)22×400×20tcos60°(100)2，整理得：t220t750,5t15，故码头A在5小时后将受到影响；受到影响的时间是10小时.答案：1010.【解析】(1)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BCcosC1621022×16×10·cosC 在ABD中，由余弦定理及CD整理得AB2AD2BD22AD·BDcosD1421422×142cosC 由得：1421422×142cosC1621022×16×10cosC，整理可得cosC，又C为三角形的内角，所以C60°，又CD，ADBD，所以ABD是等边三角形，故AB14，即AB的长度为14.(2)小李的设计使建造费用较低.理由如下：SABDAD·BDsinD，SABCAC·BCsinC，因为AD·BDAC·BC，sinDsinC，所以SABDSABC，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择以ABC为底座形状建造环境标志费用较低.即小李的设计使建造费用较低.11.【解题指南】设B为台风中心，则B为AB边上的动点，SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过t小时到达B点，则在ABS中，由余弦定理可求SB.【解析】如图，设台风中心经过t小时到达B点，由题意：SAB90°30°60°，在SAB中，SA300，AB30t，SAB60°，由余弦定理得：SB2SA2AB22SA·AB·cosSAB3002(30t)22×300×30tcos60°，若S岛受到台风影响，则应满足条件：|SB|270，即SB22702，化简整理得t210t190，解之得5t5，所以从现在起，经过(5)小时S岛开始受到影响，(5)小时后影响结束，持续时间：(5)(5)2(小时).所以S岛会受到台风影响，从现在起经过(5)小时受到台风影响，且持续时间为2小时.【误区警示】在求解不等式后所得的t的范围中，若出现负值，则应考虑实际意义.【探究创新】【解析】(1)在ABC中，ACB60°.，AC4096(km)，BC6020132(km).(2)能.理由如下：甲车从车站A开到车站C约用时间为1(小时)60(分钟)，即9点到C站，9点零10分开出.乙车从车站B开到车站C约用时间为1.1(小时)66 (分钟)，即9点零6分到C站，9点零16分开出.则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上.(3)10点时甲车离开C站的距离为×9680(km)，乙车离开C站的距离为×12088(km)，两车的距离等于888×18.2145.6(km)