2013江西省高考数学复习指导教案：第二章2.4《函数的单调性》(北师大版)

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第二章2.4函数的单调性考纲要求1理解函数单调性的概念；2掌握判断一些简单函数单调性方法，并能利用函数的单调性解决一些问题知识梳理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2.当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是增加的当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是减少的图象描述自左向右看图像是_自左向右看图像是_(2)如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是_或_，则称函数yf(x)在这个子集上具有单调性2函数的单调性有如下几种等价形式(1)对于任意的x1，x2a，b，0(0)f(x)在a，b上是_(2)对于任意的x1，x2a，b，f(x1)f(x2)(x1x2)0(0)f(x)在a，b上是_基础自测1下列函数中，在(0,3)上是增加的是()Af(x)Bf(x)x3Cf(x)Df(x)x26x42下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是()Af(x)exBf(x)Cf(x)(x2)2Df(x)ln(x3)3若函数f(x)log2(x2ax3a)在区间2，)上是增加的，则实数a的取值范围是()A(，4B(4,4C(4,2D(，42，)4已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是_5函数y(x3)|x|在区间_上是增加的思维拓展1已知函数yf(x)定义域为I，若函数在区间a，b(a，bI)上是增加的(减少的)，能说函数在定义域I上单调递增(递减)?提示：函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调2函数y的单调递减区间为(，0)(0，)，这种表示法对吗？提示：首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；一个函数如果有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结3函数的单调性反映在其图像上有什么特征？提示：函数的单调性反映在图像上是上升或下降的一、函数单调性的判断【例11】下列四个函数中，在(0，)上增加的是()AyxBylog2xCyx22xD【例12】讨论函数f(x)(m0)的单调性方法提炼1判断或证明函数的单调性，最基本的方法是利用定义或利用导数利用定义的步骤是：设元取值作差(商)变形确定符号(与1比较大小)得出结论；利用导数的步骤是：求导函数判断导函数在区间上的符号得出结论2两个增(减)函数的和函数仍是增(减)函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定3对于复合函数yfg(x)，如果内、外层函数单调性相同，那么yfg(x)为增函数，如果内、外层函数单调性相反，那么yfg(x)为减函数，即“同增异减”请做针对训练5二、求函数的单调区间【例21】定义在R上的偶函数f(x)满足：任意的x1，x20，)(x1x2)，有0，则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)f(2)【例22】求函数的单调区间方法提炼1求函数的单调区间与确定单调性的方法：(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间(4)图像法：如果函数是以图像形式给出的，或者函数的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间2求复合函数yfg(x)的单调区间的步骤：(1)确定函数定义域；(2)将复合函数分解成两个基本初等函数；(3)分别确定两基本初等函数的单调性；(4)按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间请做针对训练1三、已知函数的单调性，求字母的取值范围【例3】已知函数f(x)lgax2(23a)x1在(1，)上是增加的，求实数a的取值范围方法提炼已知函数的单调性，求字母的取值范围，一定要注意两方面：一是定义域，二是单调性请做针对训练2四、函数的单调性与不等式【例4】已知定义在R上的函数f(x)满足：f(xy)f(x)f(y)1；当x0时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；(2)若f(1)1，解关于x的不等式：f(x22x)f(1x)4.方法提炼1函数的单调性是与不等式有直接的联系，对函数单调性的考查常常与解不等式、求函数值域、图像等相结合2解有关抽象函数不等式问题的步骤：(1)确定函数f(x)在给定区间上的单调性(或奇偶性)；(2)将函数不等式转化为f(A)f(B)的形式；(3)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；(4)解不等式或不等式组求得解集3对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)f(x2)与0的大小，或与1的大小(f(x)0)有时根据需要，需作适当的变形：如x1x2·或x1x2x1x2等提醒：解此类问题易忽视A，B的取值范围，即忽视f(x)所在的单调区间的约束请做针对训练3考情分析从近三年的高考试题来看，该部分内容是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题；难度中等偏上；客观题主要考查函数的单调性的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法针对训练1函数y1()A在(1，)上是增加的B在(1，)上是减少的C在(1，)上是增加的D在(1，)上是减少的2(2012江西九江一中月考)若函数f(x)|xb|x在区间2，)上是增加的，则实数b的取值范围是()A0b2Bb0Cb2Db43已知奇函数f(x)对于任意的正实数x1，x2(x1x2)，恒有(x1x2)(f(x1)f(x2)0，则一定正确的是()Af(4)f (6)Bf(4)f(6)Cf(4)f(6)Df(4)f(6)4定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增加的，f0，则满足的x的取值范围是_5已知函数f(x)(a0，x0)，试判断函数f(x)在(0，)上的单调性参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)逐渐上升的逐渐下降的(2)增加的减少的2增加的(减少的)增加的(减少的)基础自测1C2.B3B解析：由题意，得解得4a4，故选B.4(1,0)(0,1)解析：由函数f(x)为R上的减函数且ff(1)，得即0x1或1x0.5解析：y故函数在区间上是增加的考点探究突破【例11】D解析：画出各函数图像，由图像可知，选D.【例12】解：函数定义域为x|x2，不妨设x1，x2(，2)且x1x2，f(x2)f(x1).m0，x1，x2(，2)，且x1x2，x1x20，(x22)(x12)0.0，即f(x2)f(x1)，故函数f(x)在区间(，2)上是增加的；同理可得函数f(x)在区间(2，)上也是增加的综上，函数f(x)在(，2)，(2，)上均为增加的【例21】A解析：由题意得，在0，)上0，故f(x)在0，)上是减少的，且满足nN时，f(2)f(2),3210，得f(3)f(2)f(1)，故选A.【例22】解：令ux24x3，原函数可以看作与ux24x3的复合函数令ux24x30，则x1或x3.函数(x24x3)的定义域为(，1)(3，)又ux24x3的对称轴x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是减少的，在(3，)上是增加的而函数在(0，)上是减少的，(x24x3)的减区间为(3，)，增区间为(，1)【例3】解：(1)当a0时，f(x)lg(2x1)，符合题意(2)当a0时，由题意，得解得0a.综上可得，实数a的取值范围是.【例4】解：(1)令xy0得f(0)1.在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1x2)1，又f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以，函数f(x)在R上是增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)4得f(x2x1)f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2x13，解之，得x2或x1，故解集为x|x2或x1演练巩固提升针对训练1C解析：由函数y的图像经过平移变换可得函数y1的图像，结合图像可知，选C.2C解析：f(x)当b0时，f(x)在和(b，)上是增加的，在上是减少的，0b2，当b0时，f(x)在(，b)和上是增加的，在上是减少的，b0.当b0时，f(x)在R上是增函数，综上可得b2.故选C.3C解析：显然(46)(f(4)f(6)0f(4)f(6)，又函数f(x)为奇函数，f(4)f(4)，f(6)f(6)故f(4)f(6)，选C.4 (2，)解析：由f(x)f(x)f(|x|)得f(|x|)f，于是|x|log2x|1log2x1或log2x10x或x2.5解：设x1x20，则xx1x20，x1x20，yf(x1)f(x2)0，y0，因此，函数f(x)在(0，)上是增加的