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2013江西省高考数学复习指导教案:第二章2.4《函数的单调性》(北师大版)

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    • 1、2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第二章2.4函数的单调性考纲要求1理解函数单调性的概念;2掌握判断一些简单函数单调性方法,并能利用函数的单调性解决一些问题知识梳理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.当x1x2时,都有_,那么就说函数f(x)在区间D上是增加的当x1x2时,都有_,那么就说函数f(x)在区间D上是减少的图象描述自左向右看图像是_自左向右看图像是_(2)如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是_或_,则称函数yf(x)在这个子集上具有单调性2函数的单调性有如下几种等价形式(1)对于任意的x1,x2a,b,0(0)f(x)在a,b上是_(2)对于任意的x1,x2a,b,f(x1)f(x2)(x1x2)0(0)f(x)在a,b上是_基础自测1下列函数中,在(0,3)上是增加的是()Af(x)Bf(x)x3Cf(x)Df(x)x26x42下列函数f(x)中满足“对任意x1,x2(0,),当x1x2时,都有f(x1)f(x2)”的是()Af(x)exBf(x)Cf

      2、(x)(x2)2Df(x)ln(x3)3若函数f(x)log2(x2ax3a)在区间2,)上是增加的,则实数a的取值范围是()A(,4B(4,4C(4,2D(,42,)4已知函数f(x)为R上的减函数,则满足ff(1)的实数x的取值范围是_5函数y(x3)|x|在区间_上是增加的思维拓展1已知函数yf(x)定义域为I,若函数在区间a,b(a,bI)上是增加的(减少的),能说函数在定义域I上单调递增(递减)?提示:函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子区间上的单调性,是局部的特征在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调2函数y的单调递减区间为(,0)(0,),这种表示法对吗?提示:首先函数的单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式的形式表示;一个函数如果有多个单调区间应分别写,分开表示,不能用并集符号“”联结,也不能用“或”联结3函数的单调性反映在其图像上有什么特征?提示:函数的单调性反映在图像上是上升或下降的一、函数单调性的判断【例11】下列四个函数中,在(0,)上增加的是()AyxBylog2xCyx22xD【例12】讨论函数f(x)(m0)的单调性方法提炼1判断或证

      3、明函数的单调性,最基本的方法是利用定义或利用导数利用定义的步骤是:设元取值作差(商)变形确定符号(与1比较大小)得出结论;利用导数的步骤是:求导函数判断导函数在区间上的符号得出结论2两个增(减)函数的和函数仍是增(减)函数,但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定,同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定3对于复合函数yfg(x),如果内、外层函数单调性相同,那么yfg(x)为增函数,如果内、外层函数单调性相反,那么yfg(x)为减函数,即“同增异减”请做针对训练5二、求函数的单调区间【例21】定义在R上的偶函数f(x)满足:任意的x1,x20,)(x1x2),有0,则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)f(2)【例22】求函数的单调区间方法提炼1求函数的单调区间与确定单调性的方法:(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义(3)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间(4)图像法:如果函数是以图像形式给出的,或者函数的图像易作出,可由图

      4、像的直观性写出它的单调区间2求复合函数yfg(x)的单调区间的步骤:(1)确定函数定义域;(2)将复合函数分解成两个基本初等函数;(3)分别确定两基本初等函数的单调性;(4)按“同增异减”的原则,确定原函数的单调区间请做针对训练1三、已知函数的单调性,求字母的取值范围【例3】已知函数f(x)lgax2(23a)x1在(1,)上是增加的,求实数a的取值范围方法提炼已知函数的单调性,求字母的取值范围,一定要注意两方面:一是定义域,二是单调性请做针对训练2四、函数的单调性与不等式【例4】已知定义在R上的函数f(x)满足:f(xy)f(x)f(y)1;当x0时,f(x)1.(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是增函数;(2)若f(1)1,解关于x的不等式:f(x22x)f(1x)4.方法提炼1函数的单调性是与不等式有直接的联系,对函数单调性的考查常常与解不等式、求函数值域、图像等相结合2解有关抽象函数不等式问题的步骤:(1)确定函数f(x)在给定区间上的单调性(或奇偶性);(2)将函数不等式转化为f(A)f(B)的形式;(3)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”,转化成一般的不等

      5、式或不等式组;(4)解不等式或不等式组求得解集3对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应条件,对任意x1,x2在所给区间内比较f(x1)f(x2)与0的大小,或与1的大小(f(x)0)有时根据需要,需作适当的变形:如x1x2或x1x2x1x2等提醒:解此类问题易忽视A,B的取值范围,即忽视f(x)所在的单调区间的约束请做针对训练3考情分析从近三年的高考试题来看,该部分内容是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;难度中等偏上;客观题主要考查函数的单调性的灵活确定与简单应用,主观题在考查基本概念、重要方法的基础上,又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法针对训练1函数y1()A在(1,)上是增加的B在(1,)上是减少的C在(1,)上是增加的D在(1,)上是减少的2(2012江西九江一中月考)若函数f(x)|xb|x在区间2,)上是增加的,则实数b的取值范围是()A0b2Bb0Cb2Db43已知奇函数f(x)对于任意的正实数x1,x2(x1x2),恒有(x1x2)(f(x1)f(x2)0,则一定正确的是()Af(4)f (6)Bf(

      6、4)f(6)Cf(4)f(6)Df(4)f(6)4定义在R上的偶函数f(x)在0,)上是增加的,f0,则满足的x的取值范围是_5已知函数f(x)(a0,x0),试判断函数f(x)在(0,)上的单调性参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)逐渐上升的逐渐下降的(2)增加的减少的2增加的(减少的)增加的(减少的)基础自测1C2.B3B解析:由题意,得解得4a4,故选B.4(1,0)(0,1)解析:由函数f(x)为R上的减函数且ff(1),得即0x1或1x0.5解析:y故函数在区间上是增加的考点探究突破【例11】D解析:画出各函数图像,由图像可知,选D.【例12】解:函数定义域为x|x2,不妨设x1,x2(,2)且x1x2,f(x2)f(x1).m0,x1,x2(,2),且x1x2,x1x20,(x22)(x12)0.0,即f(x2)f(x1),故函数f(x)在区间(,2)上是增加的;同理可得函数f(x)在区间(2,)上也是增加的综上,函数f(x)在(,2),(2,)上均为增加的【例21】A解析:由题意得,在0,)上0,故f(x)在0,)上是减少的,且满足

      7、nN时,f(2)f(2),3210,得f(3)f(2)f(1),故选A.【例22】解:令ux24x3,原函数可以看作与ux24x3的复合函数令ux24x30,则x1或x3.函数(x24x3)的定义域为(,1)(3,)又ux24x3的对称轴x2,且开口向上,ux24x3在(,1)上是减少的,在(3,)上是增加的而函数在(0,)上是减少的,(x24x3)的减区间为(3,),增区间为(,1)【例3】解:(1)当a0时,f(x)lg(2x1),符合题意(2)当a0时,由题意,得解得0a.综上可得,实数a的取值范围是.【例4】解:(1)令xy0得f(0)1.在R上任取x1x2,则x1x20,f(x1x2)1,又f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2),所以,函数f(x)在R上是增函数(2)由f(1)1,得f(2)3,f(3)5.由f(x22x)f(1x)4得f(x2x1)f(3),又函数f(x)在R上是增函数,故x2x13,解之,得x2或x1,故解集为x|x2或x1演练巩固提升针对训练1C解析:由函数y的图像经过平移变换可得函数y1的图像,结合图像可知,选C.2C解析:f(x)当b0时,f(x)在和(b,)上是增加的,在上是减少的,0b2,当b0时,f(x)在(,b)和上是增加的,在上是减少的,b0.当b0时,f(x)在R上是增函数,综上可得b2.故选C.3C解析:显然(46)(f(4)f(6)0f(4)f(6),又函数f(x)为奇函数,f(4)f(4),f(6)f(6)故f(4)f(6),选C.4 (2,)解析:由f(x)f(x)f(|x|)得f(|x|)f,于是|x|log2x|1log2x1或log2x10x或x2.5解:设x1x20,则xx1x20,x1x20,yf(x1)f(x2)0,y0,因此,函数f(x)在(0,)上是增加的

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