2014高考数学复习步步为赢压轴大题突破练——函数与导数(二)

压轴大题突破练函数与导数(二)1设函数f(x)aexb(a>0)(1)求f(x)在0，)内的最小值；(2)设曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为yx，求a，b的值解(1)f(x)aex，当f(x)>0，即x>lna时，f(x)在(lna，)上递增；当f(x)<0，即x<lna时，f(x)在(，lna)上递减当0<a<1时，lna>0，f(x)在0，lna)上递减，在(lna，)上递增，从而f(x)在0，)内的最小值为f(lna)2b；当a1时，lna0，f(x)在0，)上递增，从而f(x)在0，) 内的最小值为f(0)ab.(2)依题意f(2)ae2，解得ae22或ae2(舍去)所以a，代入原函数可得2b3，即b.故a，b.2已知函数f(x)alnxbx2.(1)当a2，b时，求函数f(x)在，e上的最大值；(2)当b0时，若不等式f(x)mx对所有的a0，x(1，e2都成立，求实数m的取值范围解(1)由题知，f(x)2lnxx2，f(x)x，当xe时，令f(x)>0得x<；令f(x)<0，得<xe，f(x)在，)上单调递增，在(，e上单调递减，f(x)maxf()ln21.(2)当b0时，f(x)alnx，若不等式f(x)mx对所有的a0，x(1，e2都成立，则alnxmx对所有的a0，x(1，e2都成立，即malnxx，对所有的a0，x(1，e2都成立，令h(a)alnxx，则h(a)为一次函数，mh(a)min.x(1，e2，lnx>0，h(a)在0，上单调递增，h(a)minh(0)x，mx对所有的x(1，e2都成立1<xe2，e2x<1，m(x)mine2.3已知函数f(x)x32x1，g(x)lnx.(1)求F(x)f(x)g(x)的单调区间和极值；(2)是否存在实常数k和m，使得x>0时，f(x)kxm且g(x)kxm？若存在，求出k和m的值；若不存在，说明理由解(1)由F(x)x32x1lnx(x>0)，得F(x)(x>0)，令F(x)0得x1，易知F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，从而F(x)的极小值为F(1)0.(2)易知f(x)与g(x)有一个公共点(1,0)，而函数g(x)在点(1,0)处的切线方程为yx1，下面只需验证都成立即可设h(x)x32x1(x1)(x>0)，则h(x)3x233(x1)(x1)(x>0)易知h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以h(x)的最小值为h(1)0，所以f(x)x1恒成立设k(x)lnx(x1)，则k(x)(x>0)易知k(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以k(x)的最大值为k(1)0，所以g(x)x1恒成立故存在这样的实常数k1和m1，使得x>0时，f(x)kxm且g(x)kxm.4已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2lnxb，其中a>0.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)g(x)(1)解f(x)x2a，g(x)，由题意知f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，即由x02a，得x0a或x03a(舍去)即有ba22a23a2lnaa23a2lna.令h(t)t23t2lnt(t>0)，则h(t)2t(13lnt)于是当t(13lnt)>0，即0<t<e时，h(t)>0；当t(13lnt)<0，即t>e时，h(t)<0.故h(t)在(0，e)上为增函数，在(e，)上为减函数，于是h(t)在(0，)上的最大值为h(e)e，即b的最大值为e.(2)证明设F(x)f(x)g(x)x22ax3a2lnxb(x>0)，则F(x)x2a(x>0)故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，)上为增函数于是F(x)在(0，)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.故当x>0时，有f(x)g(x)0，即当x>0时，f(x)g(x)