2014高考数学复习步步为赢压轴大题突破练——函数与导数(二)
3页1、压轴大题突破练函数与导数(二)1设函数f(x)aexb(a0)(1)求f(x)在0,)内的最小值;(2)设曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为yx,求a,b的值解(1)f(x)aex,当f(x)0,即xlna时,f(x)在(lna,)上递增;当f(x)0,即xlna时,f(x)在(,lna)上递减当0a0,f(x)在0,lna)上递减,在(lna,)上递增,从而f(x)在0,)内的最小值为f(lna)2b;当a1时,lna0,f(x)在0,)上递增,从而f(x)在0,) 内的最小值为f(0)ab.(2)依题意f(2)ae2,解得ae22或ae2(舍去)所以a,代入原函数可得2b3,即b.故a,b.2已知函数f(x)alnxbx2.(1)当a2,b时,求函数f(x)在,e上的最大值;(2)当b0时,若不等式f(x)mx对所有的a0,x(1,e2都成立,求实数m的取值范围解(1)由题知,f(x)2lnxx2,f(x)x,当xe时,令f(x)0得x;令f(x)0,得0,h(a)在0,上单调递增,h(a)minh(0)x,mx对所有的x(1,e2都成立1xe2,e2x0时,f(x)k
2、xm且g(x)kxm?若存在,求出k和m的值;若不存在,说明理由解(1)由F(x)x32x1lnx(x0),得F(x)(x0),令F(x)0得x1,易知F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,从而F(x)的极小值为F(1)0.(2)易知f(x)与g(x)有一个公共点(1,0),而函数g(x)在点(1,0)处的切线方程为yx1,下面只需验证都成立即可设h(x)x32x1(x1)(x0),则h(x)3x233(x1)(x1)(x0)易知h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,所以h(x)的最小值为h(1)0,所以f(x)x1恒成立设k(x)lnx(x1),则k(x)(x0)易知k(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,所以k(x)的最大值为k(1)0,所以g(x)x1恒成立故存在这样的实常数k1和m1,使得x0时,f(x)kxm且g(x)kxm.4已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax,g(x)3a2lnxb,其中a0.设两曲线yf(x),yg(x)有公共点,且在该点处的切线相同(1)用a表示b,并求b的最大值;(2)求证:f(x)g(x)(1)解f(x)x2a,g(x),由题意知f(x0)g(x0),f(x0)g(x0),即由x02a,得x0a或x03a(舍去)即有ba22a23a2lnaa23a2lna.令h(t)t23t2lnt(t0),则h(t)2t(13lnt)于是当t(13lnt)0,即0t0;当t(13lnt)e时,h(t)0),则F(x)x2a(x0)故F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,)上为增函数于是F(x)在(0,)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.故当x0时,有f(x)g(x)0,即当x0时,f(x)g(x)
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