2014届天津高三理科数学一轮复习试题练习：《圆锥曲线》

圆锥曲线一、选择题 （2013天津高考数学（理）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, AOB的面积为, 则p =（）A1BC2D3【答案】C 因为,故两条渐近线的方程为,由得两个交点坐标为,所以 （天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷）设F是抛物线的焦点,点A是抛物线与双曲线=1的一条渐近线的一个公共点,且轴,则双曲线的离心率为（）A2BCD【答案】D【解析】由题意知,不妨取双曲线的渐近线为,由得.因为,所以,即,解得,即,所以,即,所以离心率,选D （天津市红桥区2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题（Word版含答案）以抛物线的焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（）A(x-5)2+y2=4B(x+5)2+y2=4C(x-10)2+y2=64 (D)(x-5)2+y2=16【答案】D （天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）己知抛物线方程为(),焦点为,是坐标原点, 是抛物线上的一点,与轴正方向的夹角为60°,若的面积为,则的值为（）A2BC2或D2或【答案】A （2010年高考（天津理）已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为（）ABCD【答案】B （2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理）已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）ABCD【答案】D （2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学）已知双曲线的左右焦点分别为,在双曲线右支上存在一点满足且,那么双曲线的离心率是（）ABCD【答案】C因为且,所以,又,所以,即双曲线的离心率为,选C （天津市红桥区2013届高三第二次模拟考试数学理试题（word版） ）己知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1两条渐近线分别交于A,B两点,且|AB|=2,则双曲线的离心率e为（）A2BCD【答案】D （2009高考(天津理)）设抛物线=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,=2,则BCF与ACF的成面积之比=（）ABCD【答案】A （天津市和平区2013届高三第一次质量调查理科数学）若抛物线y2=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则a的取值范围是（）A(，0)B(0，)C(0，)D【答案】C二、填空题（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）已知双曲线的左右焦点为,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率的取值范围是_.【答案】（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）已知抛物线的参数方程为(为参数),焦点为,准线为,为抛物线上一点,为垂足,如果直线的斜率为,那么_ . 【答案】8解:消去参数得抛物线的方程为.焦点,准线方程为.由题意可设,则,所以.因为,所以,代入抛物线,得.,所以.三、解答题（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分13分）如图F1、F2为椭圆的左、右焦点，D、E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“椭点”分别为P、Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）问是否存在过左焦点F1的直线l，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）由题意得，故，故，即a=2，所以b=1，c=，故椭圆C的标准方程为.（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为联立解得或，不妨令，所以对应的“椭点”坐标.而.所以此时以PQ为直径的圆不过坐标原点.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为联立，消去y得：设，则这两点的“椭点”坐标分别为，由根与系数的关系可得：，若使得以PQ为直径的圆经过坐标原点，则OPOQ，而，因此，即即=0，解得所以直线方程为或（天津市河北区2013届高三总复习质量检测（二）数学（理）试题）已知椭圆经过点A(2,1)且离心率为,过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M、N.(I)求椭圆的方程;()求的取值范围.【答案】（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）设点P是曲线C:上的动点,点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为(1)求曲线C的方程(2)若点P的横坐标为1,过P作斜率为的直线交C与另一点Q,交x轴于点M,过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N,问是否存在实数k,使得直线MN与曲线C相切?若存在,求出k的值,若不存在,说明理由.【答案】解:(1)依题意知,解得,所以曲线C的方程为(2)由题意设直线PQ的方程为:,则点由,得,所以直线QN的方程为由,得所以直线MN的斜率为过点N的切线的斜率为所以,解得故存在实数k=使命题成立.（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理）已知椭圆的离心率为，直线过点，且与椭圆相切于点.（）求椭圆的方程；（）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.【答案】（）由题得过两点，直线的方程为.因为，所以，. 设椭圆方程为,2分由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以4分6分8分又直线与椭圆相切，由解得，所以10分则. 所以.又 所以，解得.经检验成立.所以直线的方程为.14分（天津市五区县2013届高三质量检查（一）数学（理）试题）设椭圆的中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,一个顶点为,右焦点F到点的距离为2.(I)求椭圆的方程;()设经过点(0,-3)的直线Z与椭圆相交于不同两点M,N满足,试求直线的方程.【答案】解:() 依题意,设椭圆方程为, 则其右焦点坐标为, 由,得, 即,故又, , 所求椭圆方程为()由题意可设直线的方程为, 由,知点在线段的垂直平分线上, 由 得即(*) 即时方程(*)有两个不相等的实数根 设,线段的中点则,是方程(*)的两个不等的实根,故有从而有,于是,可得线段的中点的坐标为又由于,因此直线的斜率为由,得即,解得, 所求直线的方程为:方法二:设直线的方程为, 则得:由设、 由韦达定理得 , 又,则移项得:=-=-=-解得, 此时>0适合题意, 所求直线的方程为:=±-3 （天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷）如图F1、F2为椭圆的左、右焦点,D、E是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率,.若点在椭圆C上,则点称为点M的一个“椭点”,直线l与椭圆交于A、B两点,A、B两点的“椭点”分别为P、Q.(1)求椭圆C的标准方程;(2)问是否存在过左焦点F1的直线l,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)由题意得,故, , 故,即a=2,所以b=1,c=,故椭圆C的标准方程为. (2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为联立解得或,不妨令, 所以对应的“椭点”坐标.而. 所以此时以PQ为直径的圆不过坐标原点. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为联立,消去y得:设,则这两点的“椭点”坐标分别为,由根与系数的关系可得:,若使得以PQ为直径的圆经过坐标原点,则OPOQ, 而,因此, 即即=0,解得所以直线方程为或（2012年天津理）设椭圆的左、右顶点分别为,点P在椭圆上且异于两点,为坐标原点.()若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率;()若,证明:直线的斜率满足.【答案】(1)取,;则(2)设;则线段的中点（2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学）设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,在轴负半轴上有一点,满足,且.()求椭圆的离心率;()是过三点的圆上的点,到直线的最大距离等于椭圆长轴的长,求椭圆的方程;()在()的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中垂线与轴相交于点,求实数的取值范围.【答案】【解】()连接,因为,所以,即,故椭圆的离心率(其他方法参考给分)()由(1)知得于是, , 的外接圆圆心为),半径到直线的最大距离等于,所以圆心到直线的距离为,所以,解得所求椭圆方程为()由()知, : 代入消得 因为过点,所以恒成立设,则,中点当时,为长轴,中点为原点,则当时中垂线方程. 令, 可得综上可知实数的取值范围是（2013天津高考数学（理）设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. 【答案】本题主要考查椭圆的标准方程和 几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.()解:设,由,知.过点F且与轴垂直的直线为,代入椭圆方程有,解得,于是,解得,又,从而,所以椭圆的方程为.()解:设点,由得直线CD的方程为,由方程组消去,整理得.求解可得,.因为,所以.由已知得,解得.（天津市十二校2013届高三第二次模拟联考数学（理）试题）已知椭圆的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合,过点且不垂直于轴,直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的方程;(2)已知是坐标原点,求的取值范围;(3)若点关于轴的对称点是点,证明:直线与轴相交于定点.【答案】（天津市蓟县二中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设椭圆的左右焦点分别为F1、F2,A是椭圆C上的一点,坐标原点O到直线AF1的距离为()求椭圆C的方程;()设Q是椭圆C上的一点,过点Q的直线交轴于点,交轴于点M,若,求直线的斜率.【答案】直线的方程为,则有设,由于、三点共线,且（2009高考(天津理)）以知椭圆的两个焦点分别为,过点的直线与椭圆相交与两点,且(1)求椭圆的离心率; (2)求直线AB的斜率; (3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点在的外接圆上,求的值 【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力,满分14分(I)解:由/且,得,从而整理,得,故离心率(II)解:由(I)得,