2014数学一轮考点归纳集训：《积分与微积分基本定理》

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题2.考查简单定积分的求解如2012年江西T11等3.考查曲边梯形面积的求解如2012年湖北T3，山东T15，上海T13等4.与几何概型相结合考查如2012年福建T6等.归纳·知识整合1定积分(1)定积分的相关概念在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式(2)定积分的几何意义当函数f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线xa，xb之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数(3)定积分的基本性质kf(x)dxkf(x)dx.f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx.探究1.若积分变量为t，则f(x)dx与f(t)dt是否相等？提示：相等2一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算3定积分f(x)g(x)dx(f(x)>g(x)的几何意义是什么？提示：由直线xa，xb和曲线yf(x)，yg(x)所围成的曲边梯形的面积2微积分基本定理如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式为了方便，常把F(b)F(a)记成F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a)自测·牛刀小试1.dx等于()A2ln 2B2ln 2Cln 2 Dln 2解析：选Ddxln xln 4ln 2ln 2.2(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)t2t2，质点作直线运动，则此物体在时间1,2内的位移为()A.B.C.D.解析：选AS(t2t2)dt.3(教材习题改编)直线x0，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边梯形的面积为_解析：x2dxx3.答案：4(教材改编题)dx_.解析：由定积分的几何意义可知，dx表示单位圆x2y21在第一象限内部分的面积，所以dx.答案：5由曲线y，直线yx所围成的封闭图形的面积为_解析：作出图象如图所示解方程组可得交点为A，B，所以阴影部分的面积，dx2ln 2.答案：2ln 2利用微积分基本定理求定积分例1利用微积分基本定理求下列定积分：(1)(x22x1)dx；(2)(sin xcos x)dx；(3)x(x1)dx；(4)dx；(5) sin2dx.自主解答(1)(x22x1)dxx2dx2xdx1dxx2x.(2)(sin xcos x)dxsin xdxcos xdx(cos x)sin x2.(3)x(x1)dx(x2x)dxx2dxxdxx3x2.(4)dxe2xdxdxe2xln xe4e2ln 2ln 1e4e2ln 2.(5) sin2dxdxdxcos xdxxsin x.求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值1求下列定积分：(1)|x1|dx；(2) dx.解：(1)|x1|故|x1|dx(1x)dx(x1)dx1.(2) dx|sin xcos x|dx (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x) (cos xsin x) 1(1)22.利用定积分的几何意义求定积分例2dx_.自主解答dx表示y与x0，x1及y0所围成的图形的面积由y得(x1)2y21(y0)，又0x1，y与x0，x1及y0所围成的图形为个圆，其面积为.dx.在本例中，改变积分上限，求dx的值解：dx表示圆(x1)2y21在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以dx. 利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小2(2013·福建模拟)已知函数f(x)(cos tsin t)dt(x>0)，则f(x)的最大值为_解析：因为f(x)sindtcoscoscossin xcos x1sin11，当且仅当sin1时，等号成立答案：1利用定积分求平面图形的面积例3(2012·山东高考)由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A.B4C.D6自主解答由y及yx2可得，x4，即两曲线交于点(4,2)由定积分的几何意义可知，由y及yx2及y轴所围成的封闭图形面积为(x2)dx.答案C若将“yx2”改为“yx2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？解：如图所示，由y及yx2可得x1.由定积分的几何意义可知，由y，yx2及x轴所围成的封闭图形的面积为f(x)dxdx(x2)dxx. 利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差(4)计算定积分，写出答案3(2013·郑州模拟)如图，曲线yx2和直线x0，x1，y所围成的图形(阴影部分)的面积为()A.B.C.D.解析：选D由x或x(舍)，所以阴影部分面积Sdxdx.定积分在物理中的应用例4列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？自主解答a0.4 m/s2，v072 km/h20 m/s.设t s后的速度为v，则v200.4t.令v0，即200.4 t0得t50 (s)设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则svdt(200.4t)dt(20t0.2t2)20×500.2×502500(m)，即列车应在进站前50 s和进站前500 m处开始制动1变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是vv(t)(v(t)0)，那么物体从时刻ta到tb所经过的路程为v(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是vv(t)(v(t)0)，那么物体从时刻ta到tb所经过的路程为v(t)dt.2变力做功问题物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从xa到xb所做的功为F(x)dx.4一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为()A44 JB46 JC48 J D50 J解析：选B力F(x)做功为10dx(3x4)dx10x202646.1个定理微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算3条性质定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行3个注意定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；(3)面积非负， 而定积分的结果可以为负. 易误警示利用定积分求平面图形的面积的易错点典例(2012·上海高考)已知函数yf(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)函数yxf(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积为_解析由题意可得f(x)所以yxf(x)与x轴围成图形的面积为10x2dx(10x10x2)dxx3.答案1本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误2本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错3解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量1由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为()A.B.C.D.解析：选A由得x0或x1，由图易知封闭图形的面积(x2x3)dx.2(2012·山东高考)设a>0.若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.解析：由题意dxa2.又，即xa2，即aa2.所以a.答案：一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.dx()Aln xln2xB.1C.D.解析：选Cdx.2(2012·湖北高考)已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A.B.C.D.解析：选B由题中图象易知f(x)x21，则所求面积为2(x21)dx2.3设函数f(x)ax2b(a0)，若f(x)dx3f(x0)，则x0等于()A±1 B.C±D2解析：选Cf(x)d