2013高考理科数学一轮复习精练：第六章第四节合情推理与演绎推理

第六章 第四节 合情推理与演绎推理一、选择题1已知ABC中，A30°，B60°，求证：a<b.证明：A30°，B60°，A<B.a<b，其中，画线部分是演绎推理的()A大前提B小前提C结论 D三段论解析：由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提答案：B2(2012·日照模拟)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)解析：观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数，所以g(x)g(x)答案：D3(2012·广州模拟)已知f1(x)sinxcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 011(x)()Asin xcos xBsin xcos xCsin xcos xDsin xcos x解析：f2(x)f1(x)cos xsin x；f3(x)f2(x)sin xcos x；f4(x)f3(x)cos xsin x；f5(x)f4(x)sin xcos x，则其周期为4，即fn(x)fn4(x)f2 011(x)f3(x)sin xcos x.答案：A4设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体SABC的体积为V，则r()A.B.C.D.解析：设三棱锥的内切球球心为O，那么由VVOABCVOSABVOSACVOSBC，即：VS1rS2rS3rS4r，可得：r.答案：C5.正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段则这10条线段的长度的平方和是()A.a2B.a2C.a2D.a2解析：由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a(a)2a2，第二段长度的平方为a(a)2a2，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以aa2为首项，为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S10a2.答案：A6把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列an，则a2 013()A3 963 B4 002C4 501 D4 623解析：在图乙中，前k行共有123k个数，若a2 013位于第k行，则<2 013，而2 016，1 953，a2 013位于第63行从右起的第4个数又观察图乙可知，第k行的最后1个数为k2，a2 01363263 963.答案：A二、填空题7(2011·陕西高考)观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第n个等式为_解析：每行最左侧数分别为1、2、3、，所以第n行最左侧的数为n；每行数的个数分别为1、3、5、，则第n行的个数为2n1.所以第n行数依次是n、n1、n2、3n2.其和为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)28已知结论：在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则2.若把该结论推广到空间中，则有如下结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则_.解析：设四面体内部一点O到四面体各面都相等的距离为d，则由题意知dOM.设该四面体各个面的面积均为S，则由等体积法得：4×S×OMS×AM，4OMAM，AOOMAM，从而3.答案：39观察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*,12223242(1)n1n2_.解析：注意到第n个等式的左边有n项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于123n，注意到右边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(1)n1.答案：(1)n1三、解答题10已知函数f(x)，(1)分别求f(2)f()，f(3)f()，f(4)f()的值；(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f(1)f(2)f(3)f(2 013)f()f()f()解：(1)f(x)，f(2)f()1，同理可得f(3)f()1，f(4)f()1.(2)由(1)猜想f(x)f()1，证明：f(x)f()1.(3)f(1)f(2)f(3)f(2 013)f()f()f()f(1)f(2)f()f(3)f()f(2 013)f()2 012.11在平面几何中，研究正三角形内任一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任一点到各边的距离之和是定值a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明解：类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和是定值a.证明：设M是正四面体PABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：VPABCVMABCVMPABVMPACVMPBC·SABC·(d1d2d3d4)而SABCa2，VPABCa3.故d1d2d3d4a(定值)