[专题]我对傅里叶变换的理解

湖南理工学院论文设计题目：我对傅里叶变换的一些理解系部：信息与通信工程学院专业： 通信工程 年级： 2012级 学号： 141437 姓名： 张追 指导老师： 罗 2014年9月29号目录摘要.3关键词.31.1 傅里叶变换的由来.31.1.1傅里叶变换的提出.31.1.2傅里叶变换的分类.41.2 傅里叶变换的杂谈.51.3 欧拉公式和傅里叶变换.7追顽子【摘要】傅里叶变换是信号与系统分析中的重要工具，而傅里叶的变换性质经常用于信号求解的频谱函数。而对于教材苦涩难懂的一个个数学表达式，你是否曾经一度陷于绝望？而本篇文章的意义就是帮助自己疏通思维，看似复杂，其实只是我们自己被那些冰冷的数学表达式吓到了而已，为什么会被吓到？因为我们不了解她们（注意，我用的不是“它们”）她们的美等待着我们去发掘，并赋予她们新的生命，所谓日久生情，此之谓也。【关键词】傅里叶变换；时域；频域；更好的理解那么跟随我的脚步进入我所理解的傅里叶变换。首先我们必须把这两个公式亮出来先：正是因为这两个公式，让我们头疼了一年多了。从她的外表我们可以知道，这两个美丽的公式无非就是告诉我们：“傻小子，我们只是从时域变换到频域，也可以从从频域变换到时域。”而且如果非要用图像描述这两种形式的话，那可能看了你会吐血而亡，所以我现在不准备把图亮给你看，因为现在你可能还无法接受。因为一开始我就无法接受，那么如此，我们还是循序渐进吧。很多事情，其实我们并不了解她的来源或者出处，而是不管三七二十一，将书上的东西生生的硬肯，而导致的结果便是消化不良，就像我们小学到高中一样，每出现一个公式，老师就会说，你们只要记住了就行，不必证明，不必深入了解，所以，久而久之，我们变得没什么想象力。所以学一样东西之前，我们必须了解她为什么会出现？意义又是神马？她的出现能让我们解决现有的实际问题吗？因为脱离实际的东西她是不存在的。存在便是合理。好吧，带着这些问题，我们不仅要砍树，我们还要挖它的根！首先我们先了解傅里叶的由来。1.1傅里叶的由来1.1.1 傅里叶变换的提出首先傅里叶他是一个人名，而且是人类历史伟大的一个科学家。为什么说他伟大？凭的就是傅里叶分析的研究和应用至今已经经历了一百余年。19世纪20年代，当时的傅里叶54岁，当然当时的通讯或者说信息传播技术没有今天这么发达（顺便说一句，现在的人要是没手机和电脑的话，估计会失去活下去的勇气），他当时研究的是热传导理论，并在当时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。后面有一大堆名人将他的理论应用于各行各业，比如泊松和高斯等人把这一成果呢应用于电学中去，后面的名人虽然牛逼，但是我们都知道，敢于第一个吃螃蟹的才是牛逼中的战斗机！那么这么牛逼的一个理论怎么样呢？刚提出这个理论的时候，论文里有一个颇具争议性的决断：任何连续的周期信号可以有一组适当的正弦曲线组合而成。因为发表的论文不管好坏，不管有没有人看的懂，但总要有人去审查。当时审查这个论文的其中两位人物，那可以说是当时重量级的大人物，说来我们也并不陌生，他们就是著名的数学家拉格朗日和拉普拉斯，前者在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出，比如拉格朗日中值定理，这在我们大一高数中有提到。后者的主要成就是拉普拉斯变换，概率论，在天体力学方面也有所成就，顺便说一句，他还是拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘，当了六个星期的拿破仑的内政部长，不仅人聪明绝顶，而且人际关系也不赖。就是这么两个人当了他的主审人。拉普拉斯和其他的审查人希望发表这篇论文，而拉格朗日却坚决不予发表，为什么不发表呢？原因当然不是你拉格朗日顽固不化，人老眼花，他认为傅里叶变换无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续的变化斜率，这一坚持就是50年。当时的法国科学界视拉格朗日为权威，当然也就屈服了他的权威，直到拉格朗日死后15年才发表这些理论。其实非要说拉格朗日不对，那也不行，只因为他是一个数学家，一生都在追求严谨的数学表达，正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号，但却可以用正弦曲线无限的接近的表示它。逼近到没有没有能量差别，基于此，傅里叶也是对的。有人说过，没有什么对，也没有错，只有合理。而傅里叶就是站在合理的一方。当傅里叶被拉格朗日拒绝的时候，他也没闲着，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，后来拿破仑失败了，他怕会推上断头台，一直在逃避。所以说他的人生也是颠沛流离的，吃尽了苦头。我们中国有句古话：天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。他的一生就像文章开头那美丽的两个公式一样，从负无穷到正无穷神秘而又让人畏惧，有时表现的像时域，时时刻刻都在变化，有时像频域，静止不变。老师觉得我可能废话多了，但是我觉得要了解一个人的作品，应该先了解他的为人，这样我们学着也轻松，当然也是带着感情去学习，而不是一台机器，信号与系统本来很美好，但是老师们总把它当数学教，谁会有兴趣？数学公式的物理意义何在？数学是工具，不是全部。好吧，好像在扯淡了。那就言归正传吧。我们知道，分解信号的方法是无穷的，但是用正余弦分解信号会更简单。因为正余弦拥有其它信号所不具有的性质：保真度。输入的是正弦信号，输出的还是正弦信号，只有幅度和相位发生变化，这由本身硬件决定。频率，和波的形状是不会变化的，假如用其它的波，比如方波和三角波那是不行的，很简单，他们没这个性质。1.1.2 傅里叶变换的分类傅里叶变换可以分为以下几类：1. 非周期性连续信号->傅里叶变换（FT）2. 周期性连续信号->傅里叶级数（FS）3. 非周期性离散信号->离散时域傅里叶变换（DTFT）4. 周期性离散信号->离散傅里叶变换（DFT）这些变换图形大概是什么样呢？从网上偷来一幅图如下：这四种傅里叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅里叶变换呢？没有。因为正余弦波被定义成从负无穷大到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅里叶变换的方法。还有，也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离散信号，这时我们就可以用离散傅里叶变换方法进行变换。这里我们要学的是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。1.2 傅里叶变换的杂谈当老师安排这篇论文的时候，我真不知道从何说起，因为我的傅里叶变换确实学的很烂，这一点必须承认，但是我马上就上网查了一些资料，看了很多PPT，有做的好的，也有做的很深奥的，但是不管怎样自己确实比以前更懂了，理解的更深刻了。在网上查的一些资料，有一些是网友在评论里的言论，我觉得非常好，现在插入一些网友的留言，一是让自己了解别人思维方式，以及对事物不同角度的理解，所谓要识庐山真面目，除了亲自登上庐山外，如果能租一辆飞机在天上观察那就再好不过了，而我们认清傅里叶变换，看看别人怎么理解，也许会让我们茅塞顿开。二来，要学好一样东西，毕竟不像从前了，知识获取的途径很少，现在网络这么发达，对信息的获取应该与时俱进，转载一些有用的东西，偷也好，窃也罢，只要有利于人名群众，不犯法的情况下，分清大是大非就行了。前阵子北大一博士抄袭外国论文，你知道这货怎么抄袭的吗？直接把外文翻译成中文，注意，是直译。这样就不太好了。言归正传。在百度的搜索栏里，我输入了“你们是如何理解傅里叶变换的”，马上就有很多信息。其中：A说：任何连续测量的时序或信号，都可以表示不同频率无限正弦波信号的无限的叠加而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。B说：连续的周期信号是由一系列的正弦波组成,他的频谱是离散的,连续的非周期信号的频谱是连续的，.频谱的幅度实际上就是反映了每个正弦波的幅度。就摘录这两位网友的吧。为什么只摘录这两位的呢？因为够了，多了也是废话！首先分析A的，他的观点很符合一直以来我们的思维方式任何信号就是可以用无限多个正弦信号的叠加，比如说矩形波，如下图：最前面的矩形波图便是后面无数的，不同频率和相位的正弦波组成的，但是我们只能看到矩形波，后面那些默默付出的英雄我们却看不到，这其实也是一种悲哀！你看现在的城市建的多么美好啊，又有多少人知道那些进城打工的农民工，不是他们的付出，我们的城市有这么美好吗。更可笑的是城市人在口头上是很尊重，但是实际的利益却没有拿出，比如农民工子女的入学的问题，外来务工人员子女高考，很多地方是不允许他们异地高考的，城市这么美好，是谁的功劳，我们都好好想想吧！然后分析B的，这时请你屏住呼吸，感觉周围的一却都静止了，包括上图的无数的正弦波，这时从上图的右侧看过去或者用一个灯光映射过去每个正弦波的振幅便出现了，我们称之为频谱图，图如下：这幅图真的太直观了！不转载就太可惜了。所以这时候我相信每个人至少明白了，时域转频域原来这么简单，如果单独拿出两幅图进行对比，虽然完全不一样，但至少我们知道这个了这个过程。这是从人类最原始的方法去了解一个东西，比任何方法都直观，本文最前面的两个公式比这复杂多了，但是我们却不能丢下那些公式，因为公式的目的就是算出准确数。但是在用它之前，我们必须了解时域，频域的来龙去脉，这样才有趣。一开始我问自己：为什么时域还好的，为什么要转化为频域。后来接触了高频之后，我知道原来在实际的应用中，我们必须将一些不需要的信号滤除掉，而这是将