信号与线性系统分析 (第四版)第一章

,如果u1(t)=任意信号,如果电路是黑匣子,u2(t) = ?,u2(t)与u1(t)是什么关系?,如何描述信号? 如何描述系统? 如何分析信号作用于系统?,数学的基础: 用输出信号和输入信号之间的 数学关系来描述系统; 区别于数学: 注重数学结论的物理解释, 不拘泥数学工具的严格证明;,电路的基础:简单的系统是电路; 区别于电路:主要关心电路输出信号和 输入信号之间的数学关系,先修课程: 高等数学,工程数学,电路分析基础, 后继课程:电子线路,通信原理,数字信号处理,.,学时: 68+8 考试:闭卷,主要参考书:郑君里 管致中 奥本海姆,第一章 信号与系统,§1-1 绪 言,信号与系统问题无处不在，信息科学已渗透到所有现代自 然科学和社会科学领域。,工业监控、生产调度、质量分析、资源遥感、 人工智能、高效农业、交通监控 地震预报、,宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警、指挥系统,经济预测、财务统计、市场信息 、股市分析,电子出版、新闻传媒、影视制作,远程教育、远程医疗、远程会议,任务：传送消息,语言或音乐（消息）= 电流或电压(信号) = 接收端 = 电信号 = 还原为声音,通信系统的典型构成,系统分析的主要任务,第一章 信号与系统,§1-2 信号,信号与函数:都表示因变量随自变量变化 而变化的关系,消息：具有一定程度的不确定性信息， 附属于某种载体: 语言、文字、图画、编码等,信号：把消息转变成便于处理的 光、电（一般是随时间变化）信号,§1-2信号,一、连续信号和离散信号,连续时间信号： 在连续时间范围内 定义的信号,间断点：,可见：信号的值可以是连续的， 也可以不是连续的。,信号值,自变量,连续,连续,不连续,模拟 信号,连续 时间信号,不连续,？,？,离散时间信号：在离散瞬间有定义的信号,信号值,自变量,连续,连续,不连续,模拟 信号,连续 时间信号,不连续,？,？,离散 时间信号,数字 信号,二、周期信号和非周期信号,连续信号：,周期信号：周而复始，无始无终,离散信号：,正弦序列,N=? 根据离散周期序列的定义,无理数 N不存在,三、实信号和复信号,实信号：各时刻的函数值为实数， 物理上可实现的信号， 如正弦信号、单边指数信号。,复信号：各时刻的函数值为复数， 物理上不可实现的抽象的信号， 是分析的工具。,连续复指数信号,复指数信号概括了许多常用的基本信号：,当=0时：Ref (t)为等幅振荡,当0时：Ref (t)为增幅振荡,当0时：Ref (t)为减幅振荡,当=0时：f (t)=ket为指数信号,当=0， =0 ：f (t)=k为直流信号,特点：对时间的微分、积分 仍为正弦信号,正弦信号为周期信号,正弦信号可用虚指数信号表示,离散复指数序列,离散复指数信号概括了许多常用的基本离散信号,四、能量信号和功率信号,归一化的能量或功率：,信号（电压或电流）在单位电阻上的能量或功率。,连续信号：在区间（-，）上，信号f (t)的,信号能量：,信号功率：,若0 E （此时 P = 0）称f (t)为能量信号,若0 P （此时 E = ）称f (t)为功率信号,四、能量信号和功率信号,归一化的能量或功率：,信号（电压或电流）在单位电阻上的能量或功率。,离散信号：在区间（-，）上，序列f (k)的,能量：,功率：,§1.3 信号的基本运算,相加,相乘,一、加法和乘法,例1.3-1,二、反转和平移,反转,几何意义：对称纵轴,f (t 1),f (t +2),f (k 1),f (k+1),平移,几何意义： 将信号f ( t ) 或f (k)的波形沿时间轴 往左或往右整体移动t0 或 k0 而波形保持不变 。,f ( t ) f (t t0) f (k) f ( k k0) f ()右移t0 (或k0),f ( t ) f (t + t0) f (k) f ( k+k0) f ()左移t0 (或k0),其中 k0 0,其中 t0 0,平移+反转,平移,反转,平移,反转,三、尺度变换（横坐标展缩）,反转加 尺度变换,一段声音4 秒钟放完,加快速度，2 秒钟放完，声音将变得尖锐,物理意义,减慢速度，8 秒钟放完，声音将变得低沉,f (2t）,物理意义,离散信号通常不作展缩运算！,连续信号还有的微积分运算！,先看信号的幅度（数乘）运算！,f (2t）,物理意义,信号的幅度（数乘）运算,例1.3-2：已知f (t)的波形如图所示，求f (2t +4 ),法一：写出f (t)的函数式，以变量(2t +4 ) 代替t 后， 再对函数式进行整理（较麻烦）.,可能同时含反转、尺度变换和平移等几种运算,法二：直接把f (t)的波形 经平移、反折、压缩后可得 f (2t +4)， 三种运算顺序可任意安排。,1）f (t) 平移反折压缩,2）f (t) 反折平移压缩,3）f (t) 压缩反折平移,注意：a)先压缩后平移时移动量为t0 /,b)平移、反折、压缩等各种运算 都是对独立的、单一的变量t 而言的， 而不是对变量t 或 t+b进行的。,c)先做平移后再做其余运算不易出错。,例：已知f (32t) 波形，求f (t),扩展,反转,平移,法一）,扩展,反转,平移,法二）,例3：已知f (t)的波形如图所示，求f (2t +5),压缩,反转,平移,一、阶跃函数和冲激函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,S=1,1、推导,一、阶跃函数和冲激函数,2.单位阶跃函数(t),1）阶跃函数(t)的定义,注意：t=0处的函数值不定义或规定为1/2,延迟单位阶跃函数,2）阶跃函数的物理意义,3. 冲激函数(t),1）冲激函数的物理意义,某些物理现象需要用一个作用时间极短， 取值极大而效果有限的数学模型来表示， 冲激函数就是描述这类物理现象的数学模型。,如力学中的冲击力，作用力F很大，作用时间t 很短 而冲量F t为有限值。,又如电路中电容电压发生跃变时电流极大，时间极短 而给予电容的电荷为有限值。,2）单位冲激函数的定义,（有不同的定义方法）,a. 矩形脉冲取极限(也可以用其他规则函数取极限定义),矩形脉冲可看作一种作用效果(面积)一定，作用时间与作用力的大小成反比的物理现象的数学模型。,(1),冲激强度,b. 狄拉克定义,这种定义从数学的角度并不严格,d. 延时单位冲激函数的定义,二、 (t)的广义函数定义,严格定义,可看出(t)作用于检验函数(t )的效果是:给(t )赋予(0)的值，即从(t )中选出t=0时刻的函数值(0),其中 g(t )为广义函数,(t ) 为连续且具有任意阶导数的普通函数，称检验函数,其含意为：一个广义函数g(t )是对检验函数空间中每个函数(t )赋予一个数值N的映射,广义函数定义的规定表示方法，不能理解为一般的积分运算。,三、冲激函数的导数和积分,当n=2,4,6 偶函数当n=1,3,5 奇函数,1、冲激函数的导数,回顾,三、冲激函数的导数和积分,2、冲激函数的积分,四、 冲激函数的性质,1。与普通函数的乘积,例1.4-1：分别计算下列各式,2。移位,例1.4-2 用阶跃函数表示f (t)，求f (t)，并且作图,例1.4-2 用阶跃函数表示f (t)，求f (t)，并且作图,比较,3.尺度变换,3.尺度变换,推论：,4. 奇偶性,在上式中，令a=-1,当n=2,4,6 偶函数当n=1,3,5 奇函数,1.5 系统的描述,一、系统的数学模型,系统模型是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式 或具有物理特性的符号组合图形来表证系统图形。,（连续系统的模型）,离散系统的数学模型,试列出求解任一节点电压u (k)的方程,整理为,二、系统的框图表示,常用框图表示具有某种功能的一个子系统，每个框图 表示系统的激励和响应之间的一种数学运算关系,b）数乘器,c）加法器,a）积分器,e）延时器,d）延时单元,可看出用框图表示的各单元，在系统中的作用一目了然。,可由系统的框图写出数学模型,系统的数学模型画出相应框图,例1.5-1 写出图示的系统微分方程,有两个积分器，系统为单I/O的二阶系统,框图所示系统的微分方程,对加法器列写方程：,整理为,对左加法器列写方程：,整理为,对右加法器列写方程：,例1.5-2 写出图示的系统微分方程,将三式相加，得,整理,得,例1.5-3 写出图示的系统差分方程,对左加法器列写方程：,整理为,对右加法器列写方程：,例1.5-3 写出图示的系统差分方程,要求：由框图会直接写出系统的微(差)分方程,注意：框图中加法器的输入一定要标符号,1.6 系统的特性和分析方法,一、线性性质（含齐次性和可加性）,齐次性：,可加性：,简记为,动态系统：,1）分解特性,2）满足零输入线性和零状态线性, 零状态响应, 零输入响应,二、时不变性质(常用此性质分析求解系统),时不变系统的响应形式与激励接入系统的时间无关,线性时不变性的应用 - 连续系统的 微(积)分性,三、微(积)分特性,证明：若,则：由时不变性，,由可加性，,由齐次性，,例1.6-1 判断下列系统是否为线性的、时不变的？,全响应满足分解特性,零输入响应满足线性,零状态响应满足线性,时不变性的证明,例1.6-1 判断下列系统是否为线性的、时不变的？,全响应满足分解特性,零输入响应满足线性,零状态响应不满足线性,时不变性的证明,三、因果性,激励是零状态响应的原因；零状态响应是激励的结果。,以t 为变量的实际物理系统都是因果系统。,对于以时间含义为自变量的因果系统，响应不能先于激励,非因果系统,若 t 0时e (t)=0， t 0时 e (t)0则称e (t)为因果信号，因果信号常用e (t)(t)表示。,若 t 0时e (t)=0， t 0时e (t)0则称e (t)为反因果信号，反因果信号常用e (t)(t )表示。,非因果系统,某LTI系统初始状态为零，当输入为f(t) 时其零状态响应为 yzs (t)，求输入为f2 (t)时的响应yzs2 (t)。,如果是非因果系统，能够这样做吗？,某LTI系统初始状态为零，当输入为f(t) 时其零状态响应为 yzs (t)，求输入为f2 (t)时的响应yzs2 (t)。,四、稳定性,稳定系统应满足,例6 判断系统的稳定性,稳定系统,不稳定系统,五、 LTI系统分析方法概述,LTI系统分析的意义： 1。很多系统在一定条件下满足LTI 2。是研究非线性和时变系统的基础,系统的描述方法,1）输入输出描述法,建立e ()与y ()之间的数学关系（不关心系统内部）,连续系统：,用一元n阶微分方程描述,离散系统：,用一元n阶差分方程描述,2）状态变量描述法,便于研究系统内部的各种问题，如系统的可观测性、可控制性等,n阶系统的状态方程：n个联立的一阶微分方程组。,求解数学模型,1）时域分析法,a）经典法,b）卷积积分 (连续系统),c）卷积和 (离散系统),把激励信号表示为冲激信号之和利用线性时不变性质求解。,2）变换域分析法,a）傅里叶变换（FT）,b）拉氏变换 （LT）,c）Z变换 (ZT）,连续系统,离散系统,