公务员考试中数学运算的基本公式及定理
全国最专业、最权威公考培训机构公务员考试中数学运算的基本公式及定理一 基本运算定律及公式加法交换律：a+b=b+a加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）乘法交换律：ab=ba乘法结合律：（ab）c=a（bc）乘法分配律：（a+b）c=ac+bc乘方运算律：，（）；（，）；平方差公式： 立方和（差）公式：完全平方公式：完全立方公式：二 常见代数公式1一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设是方程（）的两个根，则，。2不等式的性质及应用：不等式的性质：（1）若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b。（2）若ac，cb，则ab。（传递性）（3）若ab，则a±cb±c；若ab，cd，则a+cb+d，a-db-c；（可加性）（4）若a>b，c>0，则ac>bc，；若a>b，c<0，则ac<bc，；若a>b>0，c>d>0，则ac>bd，；（5）若a>b>0，则（n>1）；若a>b>0，则（n>1）。 重要不等式：（1），（当且仅当时，等号成立）。（2）如果a、bR，则（当且仅当时，等号成立）。（3）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即（）（，当且仅当时，等号成立）。3二次函数的基本性质：二次函数=（a0）。当a>0，x=时，为最小值；当a<0，x=时，为最大值。4常见函数求导：，；，。5平均增长率：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有。6比和比例的性质：性质1：若ab=cd，则a×d=b×c（即外项之积等于内项之积）。性质2：若ab=cd，则(a±c)(b±d)=ab=cd。性质3：若ab=cd，则(a±xc)(b±xd)=ab=cd(x为常数)。三 数列公式（一）等差数列1基本公式（1）通项公式：（2）前n项和的公式：（3）等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A=。2等差数列的性质：（1）在等差数列中，若m+n=k+l，则； （2）若和都是等差数列，则、等都是等差数列；（3）若为等差数列，为其前n项和，则，也成等差数列。（4）从等差数列中，取出等距离的项所组成的新数列仍成等差数列。3等差数列中间项公式：（1）当n为奇数时，等差数列的中间项为；（2）当n为偶数时，等差数列的中间项为和，且有+=。（二）等比数列1基本公式（1）通项公式：（2）前n项和的公式：。（3）等比中项：如果a，c，b成等比数列，则c叫做a与b的等比中项，且。2等比数列的性质：（1）在等比数列中，若m+n=k+l，；（2）若和都是等比数列，则（k0）、等都是等比数列；（3）若为等比数列，为其前n项和，则，也成等比数列；（4）从等比数列中，取出等距离的项所组成的新数列仍成等比数列。（三）裂项公式四 容斥原理、排列组合及概率1容斥原理：两集合公式：|AB|=|A|+|B|-|AB|三集合公式：|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|AC|+|ABC|2排列组合排列数：=（n!=n×（n-1）×（n-2）××2×1）组合数：（规定）常用关系式：；。排列与组合的关系：二项式定理：3.概率：等可能事件概率：如果试验中可能出现的结果有n个，而事件A包含的结果有m个，那么事件A发生的概率。条件概率：在事件A发生（P(A)>0）的前提下，事件B发生的概率P(B|A)=。条件概率的变式，P(AB)=P(B|A)×P(A)和P(A)=。 事件A发生的概率P（A）与事件A未发生的概率满足：。二项分布：若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率。五 几何公式及定理（一）平面图形1.三角形（1）三角形基本定理及推论边勾股定理a2+b2=c2（a、b为三角形的直角边，c为斜边）勾股定理逆定理如果三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。三边关系定理及推论三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。角三角形内角和定理三角形三个内角的和为180°。三角形外角定理及推论三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。边与角的关系等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边。备注在直角三角形中，30度角所对的边等于斜边的一半，且三边之比为12。在等腰直角三角形中，两个锐角均为45度，且三边之比为11。三角形的面积S=ah，周长C=a+b+c（a、b、c为三角形的三边长，h为a边上的高）。（2）三角形主要线段条数图形性质角平分线共3条，交于一点。若AD为BAC的角平分线，则1=2；ABAC=BDCD。中线共3条，交于一点。若BD为AC边上的中线，则AD=CD；=；-=AB-BC。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。高共3条，交于一点。若CD为AB边上的高，则CDAB。若ACB=90°，CD为AB边上的高，则CD2=AD×BD； AC2=AD×AB；BC2=BD×AB。（射影定理）若ACB=90°，CD为AB边上的高，则AC×BC=CD×AB（等面积法）。中位线共3条，两两交于一点。若DE为ABC的中位线，则AD=BD，AE=CE；DEBC且DE=BC。反之亦成立。三角形的三条中位线构成的三角形与原三角形相似。备注在等腰三角形中，底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线互相重合，俗称“三线合一”。在等边三角形中，三条高、中线、角平分线、中位线分别相等，且具有“三线合一”的性质（中位线除外）。（3）三角形的全等定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。性质在全等的两个三角形中，对应边、对应角、对应中线、对应角的平分线、对应高分别相等；全等的两个三角形的周长、面积也分别相等。判定方法有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简称边角边（SAS）；有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简称角边角（ASA）；有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等，简称角角边（AAS）；三组对应边分别相等的两个三角形全等，简称边边边（SSS）；斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称斜边、直角边（HL）。（4）三角形的相似定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。性质在相似的两个三角形中，对应边成比例，对应角相等；在相似的两个三角形中，周长比等于对应边的比（相似比）；在相似的两个三角形中，面积比等于对应边比的平方。判定方法平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。2.四边形平行四边形长方形正方形梯形面积公式S=ahS=abS=S=（a+b）h周长公式C=2（a+b）C=2（a+b）C=4a基本性质两组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。两组对边平行且相等；四个角均为直角；对角线相等且互相平分。两组对边平行；四边相等，四个角均为直角；对角线相等且互相垂直平分。一组对边平行，另一组对边不平行；梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。内角和与外角和定理四边形的内角和为360°。四边形的外角和为360°。备注对角线互相垂直的四边形，其面积等于对角线乘积的一半。3.多边形（1）多边形的边与边之间的关系：多边形的任意一边的长小于其余边的和。（2）多边形内角和公式：n边形的内角的和为（n-2）×180°。（3）多边形外角和定理：任意多边形的外角和为360°。4.圆（1）公式：面积S=r2，周长C=2r=d。（r为半径，d为直径）（2）直线与圆、圆与圆的位置关系：直线与圆的位置关系相离相交相切图形示例交点个数021半径r与距离d之间的关系drdrd=r圆与圆的位置关系外离内含相交内切外切图形示例交点个数021公切线条数40213两圆半径r、R与距离d之间的关系dr+RdR-rR-rdr+Rd=R-rd=R+r注：d为直线与圆心的距离或圆心与圆心之间的距离。（二）立体图形1.基本定义及体积公式几何体定义图形举例体积公式多面体棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。正四棱柱ABCD-A1B1C1D1V=Sh（S为底面积，h为高）棱锥如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥。三棱锥A-BCDV=Sh（S为底面积，h为高）旋转体圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。OO1为旋转轴V=r2h（r为底面半径，h为高）圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。AB为旋转轴V=r2h（r为底面半径，h为高）球以半圆的直径为旋转轴，其弧边旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体，简称球。直径AB为旋转轴V=r3（r为球的半径）2.常见几何体表面积公式正方体长方体圆柱体球体表面积公式S=6a2S=2（ab+bc+ac）S=2r2+2rhS=4r2（三）几何问题基本理论1.直线和线段的性质（1）过两点有且只有一条直线；（2）两点之间线段最短。2.几何最值理论（1）面积相等的所有平面图形中，越接近圆的图形，周长越小；（2）周长相等的所有平面图形中，越接近圆的图形，面积越大；（3）体积相等的所有立体图形中，越接近球体的几何体，表面积越小；（4）表面积相等的所有立体图形中，越接近球体的几何体，体积越大。即面积一定，圆周长最小；周长一定，圆面积最大；体积一定，球体的表面积最小；表面积一定，球体的体积最大。
