双曲线的简单几何性质(内容全面,共3课时)

2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一),复习引入,变式: 上述方程表示双曲线，则m的取值范围是 _,m2或m1,求适合下列条件的双曲线的标准方程 a=4,b=3，焦点在x轴上； 焦点为(0,6),(0,6)，经过点(2,5),已知方程 表示焦点在y轴的 双曲线，则实数m的取值范围是_,m2,| |MF1|-|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）,F ( ±c, 0) F(0, ± c),2、对称性,一、研究双曲线 的简单几何性质,1、范围,关于x轴、y轴和原点都是对称。,x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。,(-x,-y),(-x,y),(x,y),(x,-y),课堂新授,3、顶点,（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点,M(x,y),4、渐近线,N(x,y),慢慢靠近,5、离心率,离心率。,ca0,e 1,e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大,（1）定义：,（2）e的范围：,（3）e的含义：,（4）等轴双曲线的离心率e= ?,( 5 ),（1）范围:,（4）渐近线:,（5）离心率:,小 结,或,或,关于坐标 轴和 原点 都对 称,例1 :求双曲线,的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。,解：把方程化为标准方程,可得:实半轴长a=4,虚半轴长b=3,半焦距c=,焦点坐标是(0,-5),(0,5),离心率:,渐近线方程:,例题讲解,例2:,1、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线的离心率为 。 2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角为 。,课堂练习,例3 :求下列双曲线的标准方程：,例题讲解,法二：巧设方程,运用待定系数法. 设双曲线方程为 ,法二：设双曲线方程为, 双曲线方程为, ,解之得k=4,1、“共渐近线”的双曲线的应用,0表示焦点在x轴上的双曲线； 0表示焦点在y轴上的双曲线。,总结：,双曲线的渐近线方程为,解出,椭圆与双曲线的比较,小 结,关于x轴、y轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A1（- a，0），A2（a，0）,A1（0，-a），A2（0，a）,关于x轴、y轴、原点对称,渐近线,F2(0,c) F1(0,-c),2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点 P( 1,3) 且离心率为 的双曲线标准方程.,1. 过点（1，2），且渐近线为,的双曲线方程是_.,2.3.2 双曲线简单的几何性质 (二),关于x轴、y轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A1（- a，0），A2（a，0）,B1（0，-b），B2（0，b）,F1(-c,0) F2(c,0),关于x轴、y轴、原点对称,A1（- a，0），A2（a，0）,渐进线,无,关于x轴、y轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A1（- a，0），A2（a，0）,A1（0，-a），A2（0，a）,关于x轴、y轴、原点对称,渐进线,F2(0,c) F1(0,-c),1、“共渐近线”的双曲线,0表示焦点在x轴上的双曲线；0表示焦点在y轴上的双曲线。,2、“共焦点”的双曲线,（1）与椭圆 有共同焦点的双曲线方程表 示为,（2）与双曲线 有共同焦点的双曲线方 程表示为,复习练习：,3、求以椭圆 的焦点为顶点，以椭圆的 顶点为焦点的双曲线的方程。,例1、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径 为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此 双曲线的方程(精确到1m).,A,A,0,x,C,C,B,B,y,例题讲解,引例：点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线 的距离比是常数 (ca0)，求点M的轨迹.,解：,设点M(x,y)到l的距离为d，则,即,化简得,(c2a2)x2 a2y2=a2 (c2 a2),设c2a2 =b2，,(a0,b0),故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.,b2x2a2y2=a2b2,即,就可化为:,点M的轨迹也包括双曲线的左支.,一、第二定义,双曲线的第二定义,平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。,定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.,对于双曲线,是相应于右焦点F(c, 0)的 右准线,类似于椭圆,是相应于左焦点F(-c, 0) 的左准线,点M到左焦点与左准线的距 离之比也满足第二定义.,想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？,相应于上焦点F(c, 0)的是上准线,相应于下焦点F(-c, 0)的是下准线,例2、点M（x,y）与定点F（5,0），的距离 和它到定直线 ： 的距离的比是常 数 , 求点M的轨迹.,y,0,d,由已知：,解：,a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线为l:,作MNl, AA1l, 垂足分别是N, A1,N,A1,当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号,令y=2, 解得:,归纳总结,1. 双曲线的第二定义,平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。,定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。,2. 双曲线的准线方程,对于双曲线,准线为,对于双曲线,准线为,注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.,椭圆与直线的位置关系及判断方法,判断方法,0,=0,0,（1）联立方程组,（2）消去一个未知数,（3）,复习:,相离,相切,相交,二、直线与双曲线的位置关系,1) 位置关系种类,X,Y,O,种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点),2)位置关系与交点个数,相离:0个交点,相交:一个交点,相交:两个交点,相切:一个交点,3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序,把直线方程代入双曲线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与双曲线的 渐进线平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0,1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。 重合：无交点；平行：有一个交点。,2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,相切一点: =0 相 离: 0,注:,相交两点: 0 同侧： 0 异侧: 0 一点: 直线与渐进线平行,特别注意直线与双曲线的 位置关系中：,一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支,例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (2)有两个公共点; (3)只有一个公共点; (4)交于异支两点； (5)与左支交于两点.,(3)k=±1，或k= ± ；,(4)-1k1 ；,(1)k 或k ；,(2) k ；,1.过点P(1,1)与双曲线,只有,共有_条.,变题:将点P(1,1)改为 1.A(3,4) 2.B(3,0) 3.C(4,0) 4.D(0,0).答案又是怎样的?,4,1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.,交点的,一个,直线,（1，1）,。,2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点 (异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_,例4、如图，过双曲线 的右焦点 倾斜角为 的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。,三、弦长问题,韦达定理与点差法,例.已知双曲线方程为3x2-y2=3, 求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹； (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；,方程组无解，故满足条件的L不存在。,分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。,证明: (1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b,1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.垂直与对称 5.设而不求(韦达定理、点差法),小结：,拓展延伸,1.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点. (1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点； (2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称， 若存在，求a;若不存在，说明理由.,（备选）垂直与对称问题,解：将y=ax+1代入3x2-y2=1,又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须0,原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，,OAOB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,(a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得a=±1.,(1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；,(2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称， 若存在，求a;若不存在，说明理由.,3、设双曲线C： 与直线 相交于两个不同的点A、B。 （1）求双曲线C的离心率e的取值范围。 （2）设直线l与y轴的交点为P，且 求a的值。,4、由双曲线 上的一点P与左、右 两焦点 构成 ，求 的内切圆与 边 的切点坐标。,说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 构成的三角形称之为焦点三角形，其中 和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。,