数学：第二讲 数表-从杨辉三角谈起 讲义

+ 五年级 第 2 讲 数表从杨辉三角谈起 （C 版） 1 数数数表表表从从从杨杨杨辉辉辉三三三角角角谈谈谈起起起 2 2 2 下面是按规律排列的杨辉三角： 图(1) 图(2) (1)杨辉三角第 8 行第 2 个数是_; (2)观察图(2)中的线，你会发现左斜线的数之和等于下一行右面的数如：1+2+3=6，照此规律，第 8 行的第 3 个数是_ (3)杨辉三角第 1 行的所有数之和为 1， 第 2 行的所有数之和为 2，第 3 行为 4，第 4 行为 8，那么，第 n 行的所有数之和是_. (4)杨辉三角中，第 101 行中左起第三个数是 (5) 5050 可能是杨辉三角中第几行的第几个数? 杨辉三角 【分析】【分析】 根据题意： 每一行第 2 个数是1n-； 所以第 8行第 2 个数是 7. (2) 1+2+3+L+6=21老师可拓展到第 n 行的第 3 个数 (3)第 n 行的和是12n-，所以第 10 行所有数的和是10 12512-=. (4)考查学生对杨辉三角形特性的认识 .第二行第一行11051105161441313112111- 例例1 了解勾股定理历史，定义 了解勾股定理和弦图的证明 利用平方差公式和勾股定理解决 五年级 第 2 讲 数表从杨辉三角谈起 （C 版） 2 第三行左起第三个数是1 1； 第四行左起第三个数是312 ； 第五行左起第三个数是6123 ； 第六行左起第三个数是101234 ； 归纳可知，第 101 行左起第三个数是99 1001239949502L. 或者是杨辉三角的每一行的第三个数都满足21nC，所以第101 行的第三个数是22101 1100100 9949502CC. (5) 杨 辉 三 角 第m行 第n个 数 实 际 就 是11nmC 11(1)!5050()!(1)!nmmCmnn，而，101是质数，因此 m-1101，0<n-1<m-1.当 n=2，m=5051;当 n 3时 ， m=102 ； 当12mn>3时 ， 存 在122111015050nmmCCC.不会再出现 5050.因此 5050 在左侧只能出现在第 5051 行第 2 个数和第 102 行第 3 个数 由对称可知， 第 5051 行第 5051 个数和第 102 行第 100 个数也是 5050. 杨辉三角中，55 可能是杨辉三角中第几行的第几个数? 杨辉三角 - 练一练练一练 五年级 第 2 讲 数表从杨辉三角谈起 （C 版） 3 【分析】【分析】 第 56 行第 2 个和第 55 个；第 13 行第 3 个和第11 个 (1)如图所示的三角形数表中，满足： 第一行的数为 1； 第n行首尾两数均为n，其余的数都是等于它肩上的两个数相加；则第 50 行第 2 个数是_. 1223434774511 141156162525 166LLL (2) 下图是按规律排列的三角形数表： 11 1 11 23 2 11 3 67 63 1 在方格中填上第五行的各个数 求第 10 行各数的和 杨辉三角 【解析】 (1)每一行的第二个数是22223(1)2nnnL， 代入50n 后，得第 50 行第 2 个数是 1226. - 例例2 五年级 第 2 讲 数表从杨辉三角谈起 （C 版） 4 (2)由数表可以得到如下的规律， (a)两边的数以中间的数为轴对称分布，两边分别包 1，其他的数等于上一行对应的数和相邻数的和； (b)每一行数的和分别是：1，3，9，27，即第 n 行数的和是 3n-1，由此解决 1+0=1，1+3=4，1+3+6=10，3+6+7=16，6+7+6=19，后面的数就是 16、10、4、1； 故答案为：1、4、10、16、19、16、10、4、1； 93 =19683； 如图所示三角形数表叫“莱布尼茨调和三角形”， 有11 1=+122、111=+236、111=+3412、则第 11 行第 2 个数（从左往右数）为_。 11112211136311114121241111152030205LLLLLL 杨辉三角 【解析】 “莱布尼兹调和三角形”数阵中所示的规律，可得每 1 行的第 1 个数均为行数的倒数， 且每一个数等于下- 例例3 五年级 第 2 讲 数表从杨辉三角谈起 （C 版） 5 一行中“脚踩”的两个数的和， 第 10 行第 1 个数是110.第 11行第 1 个数是111，则第 11 行第 2 个数是1111011110。 如图，从 1 开始的自然数按某种方式排列起来，请问： (1)第 10 行左起第 5 个数是多少? (2)100 在第几行?100 是这一行左起第几个数? (3)前 10 行的数的和是多少? 12345678910LL 三角形数表 【解析】 （1）第 9 行的最后一个数为：199452，所以第 10 行左起第 5 个数为 45+5=50. （2） 根据题意：1231391L，第 13 行的最后一个数是 91，所以 100 在第 14 行，是这一行中的第100919个数 （ 3 ） 前10行 一 共1231055L个 数 ，1555515402 - 例例4 五年级 第 2 讲 数表从杨辉三角谈起 （C 版） 6 把自然数按如下规律排成三角形数表： 如 4 是第 3 行的第3 个数， 那么(1)自然数 60 是第_行的第_个数 (2)94是第_行的第_个数. 123654789101211LL 三角形数表 【解析】 观察规律.每n行有n个数，奇数行是从大数到小数，偶数行是从小到大； (1 )1232n nnL， (1)10 11552，11 12662， 因此60在第11行，666017 ，所以 60 是 11 行第 7 个数. (2)13 14912，14 151052，94-91=3，因此 94 在第 14行第 3 个数 此题可以说是自然数列的“神龙摆尾”， 奇数行第一个数是三角形数，偶数行最后一个数是三角形数，在做题时，要分清方向 如图，把从 1 开始的自然数按某种方式排列起来.请问： （1）200 排在第几行，第几列? - 例例5 - 练一练练一练 五年级 第 2 讲 数表从杨辉三角谈起 （C 版） 7 （2）第 18 行第 22 列的数是多少? 12471116358121769 1310 1415LLLLLL 三角形数表 【解析】 （1）根据题意，每一行相邻两个数的差在依次增加 1，每一列的相邻两个数的差依次增加 1，所以 1234567891011 1213141516171819190， 得到 190 排第 19 行第 1 列， 191 排在第 1 行第 20 列.所以200 排在 10 行第 11 列； （由原数表转化到下数表，原数表中行数+列数相等的数都在此数表中的同一行中 ） 13265410987151413 12111716L （2）第 18 行的第 1 个数为：12318171. 公差为 18.所以第 22 列为171 18192038759L 把从 2 开始的偶数数列排成如下图所示三角形数表， 则表中的偶数 80 是第_行第_个数. - 例例6 五年级 第 2 讲 数表从杨辉三角谈起 （C 版） 8 2468101214161820LLL 三角形数表 【解析】 法 1：每个偶数都除以 2，会得到例 2 中的自然数列， 80 是第 40 个偶数， 1+2+3+4+5+6+7+8=36， 40-36=4.因此 80 在第 9 行第 4 个数 法 2：第n行的最后一个数是(1)n n ，第 8 行最后一个数为 72，之后第 9 行的前几个数分别为 74，76，78，80，因此 80 在第 9 行第 4 个数 把奇数数列排成如下图所示三角形数表，则表中的奇数67 是第_行第_个数. 135791113 151719LLL 三角形数表 【解析】 上面数表第n行有n个数，所以前n行有(1 )1232n nnL个数，从小到大排列. 先计算 67 是第(671)234个奇数； - 练一练练一练 五年级 第 2 讲 数表从杨辉三角谈起 （C 版） 9 前 7 行一共有7(71)282个数. 34286，所以 67 是第 8 行第 6 个数. 如图所示数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方， 得到下一行，数表从上到下与从左到右都是无限项，则这个数表中的第 13 行中第 10 个数是_. 12345673579 11 138 12 16 20 24 LLLLLLL 三角形数表 【解析】 研究这个数表，可以得到规律：某数是其上间隔一行， 垂直位置的数的 4 倍 因此第 13 行第 10 个数，是第 11 行第 11 个数的 4 倍、第 9 行第 12 个数的24倍，直至第 1 行第 16 个数“16”的64倍 因此这个数为 16× 46=216，故答案为 216. 4 倍的关系可以用下图来证明：设三个数分别为, ,nd n nd 2 - 2 4ndnndn dndn - 例例7 五年级 第 2 讲 数表从杨辉三角谈起 （C 版） 10 表中的第一行依次全部排列出 1 到 100 的整数， 然后从第二行起根据规律一直排到最后的第 100 行。 问：这个表中一共有多少个数能被 77 整除? 第 1 行 1 2 3 4 596 97 98 99 100 第 2 行 2 5 7 9193 196 197 199 第 3 行 8 12 16388 392 396 第 4 行 第 5 行 · · · · 第 100 行 三角形数表 【解析】 在这个表里,有的数的正下方写着它 4 倍的数. 假如,某数是不能被77整除的数,那么不管它被4乘多少回,也不能被 77 整除.于是我们得知不能被 77 整除的数下面写的数都不能被 77 整除.那么,如果某数是可以被 77 整除,不管乘多少回 4,得出的数都可以被 77 整除.可被 77 整除的数下面都可以被77整除.题目的表中从左右两边第N个的下面写着 N 个整数.表的第一行从右数第 24 个是 77,在它下面写的 24 个整数都可以被 77 整除.另外,从左数第二行第 38 个是383977,所以在它下面写的 38 个整数都可以被 77 整除.在表的第一行和第二行里除此之外再没有可以被 77 整除的数了.从整个表来看,除了上述的2A+12A-14AA+1AA-1- 例例8 五年级 第 2 讲 数表从杨辉三角谈起 （C 版） 11 243862个以外,再也没有可以被 77 整除的数了,所以答案为 62.