“九连环”中的数列递推问题

“九连环”中的数列递推关系山西省原平市第一中学 任所怀 “九连环”是一个古老的中国智力游戏，对于它的结构和玩法在人教版普通高中课程标准实验教科书数学5第59页有详细介绍。为了让大家能更深入了了解这一游戏，我对这一游戏进行了进一步的深入剖析，写成这一篇文章与大家共享。初见“九连环”可能会无从下手，按照我们从简单到复杂，从特殊到一般的归纳法思路，我们不妨先从“一连环”，“二连环”，“三连环”，入手，从中找出规律，从而得出“n连环”的一般解法。“一连环”解法简单，只需把圆环从上面的框架上取下，然后从框架中间穿过，就可把圆环从框架上解下。把这样的移动记为一次移动，则解“一连环”需要移动的次数为1次，记为。“二连环”解法也简单，只需按照上面的移动规则，先把第2环解下，然后再解下第1环即可，则解“二连环”需要移动的次数为2次，记为。“三连环”的解法为：先解下第1环，（记为：下1），再解下第3环（记为：下3），再套上第1环（记为：上1），接着解一个“二连环”，就可完成。所以解“三连环”需要移动的次数为；“四连环”的解法为：先解下前两环，（即下1，下2），再解下第4环（下4），再套上前2环（上2，上1），接着解一个“三连环”，就可完成。所以解“四连环”需要移动的次数为；由上归纳类比，可得“n连环”（n）的解法可分为四步：第一步：先解前n-2环，需要移动次；第二步：解下第n环，需要移动1次；第三步：套上前n-2环，解法就相当把解下过程倒过来，所以需要移动次；第四步：解下前n-1环，需要移动的次数为。于是解“n连环”需要移动的次数为；于是我们得到了一个数列的递推关系，即已知数列，其中，下面我们共同探求，如何能求出该数列的通项公式？解：由得 记，则且由得 于是数列为等比数列，公比为2，首项为所以，所以。即 （1）设，则 （2）对比（1）（2）两式可知且 于是即于是有数列为等比数列，公比为-1，首项为。所以于是有。点评：有了这一结论，我们就可轻松计算出解“九连环”需要移动的次数为次。 另外在上面的研究过程中，我们两次构造数列来求数列的通项公式，这是由递推推导通项的重要方法。下面我们再来看一个例子：（人教版普通高中课程标准实验教科书数学5第69页）已知数列中，对于这个数列的通项作一研究，能否写出它的通项公式？ 解：由得 设，则上式可化为，且所以数列为等比数列，公比为3，且首项为7，所以。 即 （3） 设，则 （4）对照（3）和（4）可知，于是即所以数列为等比数列，公比为-1，首项为。所以，于是。点评：对于上面两个由递推推导通项的过程，你会发现它们的推导过程如出一辙。先构造一个数列把相邻三项的递推关系转化为相邻两项的递推关系，然后再构造数列把相邻两项的递推关系转化为通项公式。 举一反三，下面请读者自已动手，推导著名的数列斐波那契数列的通项公式;已知数列，其中，求数列的通项公式。答案为：。作者简介：任所怀，山西省原平市第一中学一级教师。1996年毕业于山西师范大学数学系，在中学任教15年，一直从事高中数学教学与研究工作。在人教网发表论文6篇。2006年度忻州市高中数学信息技术与学科课程整合教学能手；2011年荣获忻州地区信息技术与课堂教学“十佳教师”称号；2012年在参与“十一五”规划课题提高课堂教学实效性的教学策略研究工作中，被评为;教育部课题研究先进工作者。