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“九连环”中的数列递推问题

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  • 卖家[上传人]:jiups****uk12
  • 文档编号:88919786
  • 上传时间:2019-05-13
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    • 1、“九连环”中的数列递推关系山西省原平市第一中学 任所怀 “九连环”是一个古老的中国智力游戏,对于它的结构和玩法在人教版普通高中课程标准实验教科书数学5第59页有详细介绍。为了让大家能更深入了了解这一游戏,我对这一游戏进行了进一步的深入剖析,写成这一篇文章与大家共享。初见“九连环”可能会无从下手,按照我们从简单到复杂,从特殊到一般的归纳法思路,我们不妨先从“一连环”,“二连环”,“三连环”,入手,从中找出规律,从而得出“n连环”的一般解法。“一连环”解法简单,只需把圆环从上面的框架上取下,然后从框架中间穿过,就可把圆环从框架上解下。把这样的移动记为一次移动,则解“一连环”需要移动的次数为1次,记为。“二连环”解法也简单,只需按照上面的移动规则,先把第2环解下,然后再解下第1环即可,则解“二连环”需要移动的次数为2次,记为。“三连环”的解法为:先解下第1环,(记为:下1),再解下第3环(记为:下3),再套上第1环(记为:上1),接着解一个“二连环”,就可完成。所以解“三连环”需要移动的次数为;“四连环”的解法为:先解下前两环,(即下1,下2),再解下第4环(下4),再套上前2环(上2,上1

      2、),接着解一个“三连环”,就可完成。所以解“四连环”需要移动的次数为;由上归纳类比,可得“n连环”(n)的解法可分为四步:第一步:先解前n-2环,需要移动次;第二步:解下第n环,需要移动1次;第三步:套上前n-2环,解法就相当把解下过程倒过来,所以需要移动次;第四步:解下前n-1环,需要移动的次数为。于是解“n连环”需要移动的次数为;于是我们得到了一个数列的递推关系,即已知数列,其中,下面我们共同探求,如何能求出该数列的通项公式?解:由得 记,则且由得 于是数列为等比数列,公比为2,首项为所以,所以。即 (1)设,则 (2)对比(1)(2)两式可知且 于是即于是有数列为等比数列,公比为-1,首项为。所以于是有。点评:有了这一结论,我们就可轻松计算出解“九连环”需要移动的次数为次。 另外在上面的研究过程中,我们两次构造数列来求数列的通项公式,这是由递推推导通项的重要方法。下面我们再来看一个例子:(人教版普通高中课程标准实验教科书数学5第69页)已知数列中,对于这个数列的通项作一研究,能否写出它的通项公式? 解:由得 设,则上式可化为,且所以数列为等比数列,公比为3,且首项为7,所以。 即 (3) 设,则 (4)对照(3)和(4)可知,于是即所以数列为等比数列,公比为-1,首项为。所以,于是。点评:对于上面两个由递推推导通项的过程,你会发现它们的推导过程如出一辙。先构造一个数列把相邻三项的递推关系转化为相邻两项的递推关系,然后再构造数列把相邻两项的递推关系转化为通项公式。 举一反三,下面请读者自已动手,推导著名的数列斐波那契数列的通项公式;已知数列,其中,求数列的通项公式。答案为:。作者简介:任所怀,山西省原平市第一中学一级教师。1996年毕业于山西师范大学数学系,在中学任教15年,一直从事高中数学教学与研究工作。在人教网发表论文6篇。2006年度忻州市高中数学信息技术与学科课程整合教学能手;2011年荣获忻州地区信息技术与课堂教学“十佳教师”称号;2012年在参与“十一五”规划课题提高课堂教学实效性的教学策略研究工作中,被评为;教育部课题研究先进工作者。

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