上海市长宁区、嘉定区2017届高三数学一模试卷 有答案

1 2017 年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷 一、填空题（共一、填空题（共 12 小题，小题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1设集合 A=x|x2|1，xR，集合 B=Z，则 AB= 2函数 y=sin（x） （0）的最小正周期是 ，则 = 3设 i 为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为 4若函数 f（x）=log2（x+1）+a 的反函数的图象经过点（4，1） ，则实数 a= 5已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则 n= 6甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选 法有 种 7若圆锥的侧面展开图是半径为 2cm，圆心角为 270°的扇形，则这个圆锥的体积为 cm3 8若数列an的所有项都是正数，且+=n2+3n（nN*） ，则（ ）= 9如图，在ABC 中，B=45°，D 是 BC 边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则 AB 的长为 10有以下命题： 若函数 f（x）既是奇函数又是偶函数，则 f（x）的值域为0； 若函数 f（x）是偶函数，则 f（|x|）=f（x） ； 若函数 f（x）在其定义域内不是单调函数，则 f（x）不存在反函数； 若函数 f（x）存在反函数 f1（x） ，且 f1（x）与 f（x）不完全相同，则 f（x）与 f1（x）图 象的公共点必在直线 y=x 上； 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 11设向量=（1，2） ，=（a，1） ，=（b，0） ，其中 O 为坐标原点，a0，b0，若 A、B、C 三点共线，则+的最小值为 12如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2cm，高为 5cm，一质点自 A 点出发，沿 2 着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1点的最短路线的长为 cm 二、选择题（共二、选择题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 “x2”是“x24”的（ ） A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分也非必要条件 14若无穷等差数列an的首项 a10，公差 d0，an的前 n 项和为 Sn，则以下结论中一定 正确的是（ ） ASn单调递增 BSn单调递减 CSn有最小值 DSn有最大值 15给出下列命题： （1）存在实数 使 （2）直线是函数 y=sinx 图象的一条对称轴 （3）y=cos（cosx） （xR）的值域是cos1，1 （4）若 ， 都是第一象限角，且 ，则 tantan 其中正确命题的题号为（ ） A （1） （2）B （2） （3）C （3） （4）D （1） （4） 16如果对一切实数 x、y，不等式cos2xasinx恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，B3，+）C2，2D3，3 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 76 分）分） 17如图，已知 AB平面 BCD，BCCD，AD 与平面 BCD 所成的角为 30°，且 AB=BC=2； （1）求三棱锥 ABCD 的体积； （2）设 M 为 BD 的中点，求异面直线 AD 与 CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 3 18在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 8sin2 （I）求角 A 的大小； （II） 若 a=，b+c=3，求 b 和 c 的值 19某地要建造一个边长为 2（单位：km）的正方形市民休闲公园 OABC，将其中的区域 ODC 开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点 D 的坐标为（1，2） ，曲线 OD 是函数 y=ax2 图象的一部分，对边 OA 上一点 M 在区域 OABD 内作一次函数 y=kx+b（k0）的图象，与线段 DB 交于点 N（点 N 不与点 D 重合） ，且线段 MN 与曲线 OD 有且只有一个公共点 P，四边形 MABN 为绿化风景区： （1）求证：b=； （2）设点 P 的横坐标为 t，用 t 表示 M、N 两点坐标；将四边形 MABN 的面积 S 表示成关 于 t 的函数 S=S（t） ，并求 S 的最大值 20已知函数 f（x）=9x2a3x+3： （1）若 a=1，x0，1时，求 f（x）的值域； （2）当 x1，1时，求 f（x）的最小值 h（a） ； （3）是否存在实数 m、n，同时满足下列条件：nm3；当 h（a）的定义域为m，n 时，其值域为m2，n2，若存在，求出 m、n 的值，若不存在，请说明理由 21已知无穷数列an的各项都是正数，其前 n 项和为 Sn，且满足：a1=a，rSn=anan+11，其中 a1，常数 rN； （1）求证：an+2an是一个定值； （2）若数列an是一个周期数列（存在正整数 T，使得对任意 nN*，都有 an+T=an成立，则称 an为周期数列，T 为它的一个周期，求该数列的最小周期； （3）若数列an是各项均为有理数的等差数列，cn=23n1（nN*） ，问：数列cn中的所有项 4 是否都是数列an中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例 5 2017 年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（共一、填空题（共 12 小题，小题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1设集合 A=x|x2|1，xR，集合 B=Z，则 AB= 2 【考点】交集及其运算 【分析】利用交集定义求解 【解答】解：|x2|1，即1x21，解得 1x3，即 A=（1，3） ， 集合 B=Z， 则 AB=2， 故答案为：2 2函数 y=sin（x） （0）的最小正周期是 ，则 = 2 【考点】正弦函数的图象 【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值 【解答】解：y=sin（x） （0） ， T=， =2 故答案是：2 3设 i 为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出 【解答】解：复数=对应的点到原点的距离= = 故答案为： 6 4若函数 f（x）=log2（x+1）+a 的反函数的图象经过点（4，1） ，则实数 a= 3 【考点】反函数 【分析】由题意可得函数 f（x）=log2（x+1）+a 过（1，4） ，代入求得 a 的值 【解答】解：函数 f（x）=log2（x+1）+a 的反函数的图象经过点（4，1） ， 即函数 f（x）=log2（x+1）+a 的图象经过点（1，4） ， 4=log2（1+1）+a 4=1+a， a=3 故答案为：3 5已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则 n= 6 【考点】二项式系数的性质 【分析】令二项式中的 a=b=1 得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项 二项式系数的和 2n，据已知列出方程求出 n 的值 【解答】解：令二项式中的 a=b=1 得到展开式中的各项系数的和 4n 又各项二项式系数的和为 2n 据题意得，解得 n=6 故答案：6 6甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选 法有 60 种 【考点】排列、组合及简单计数问题 【分析】间接法：先求所有两人各选修 2 门的种数，再求两人所选两门都相同与都不同的 种数，作差可得答案 【解答】解：根据题意，采用间接法： 由题意可得，所有两人各选修 2 门的种数 C52C52=100， 两人所选两门都相同的有为 C52=10 种，都不同的种数为 C52C32=30， 故只恰好有 1 门相同的选法有 1001030=60 种 故答案为 60 7若圆锥的侧面展开图是半径为 2cm，圆心角为 270°的扇形，则这个圆锥的体积为 7 cm3 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆 锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案 【解答】解：设此圆锥的底面半径为 r，由题意，得： 2r=×2， 解得 r= 故圆锥的高 h=， 圆锥的体积 V=r2h=cm3 故答案为： 8若数列an的所有项都是正数，且+=n2+3n（nN*） ，则（ ）= 2 【考点】数列的求和；极限及其运算 【分析】利用数列递推关系可得 an，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出 【解答】解：+=n2+3n（nN*） ，n=1 时， =4，解得 a1=16 n2 时，且+=（n1）2+3（n1） ，可得： =2n+2，an=4（n+1）2 =4（n+1） （）=2 故答案为：2 9如图，在ABC 中，B=45°，D 是 BC 边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则 AB 的长为 8 【考点】余弦定理 【分析】先根据余弦定理求出ADC 的值，即可得到ADB 的值，最后根据正弦定理可得答 案 【解答】解：在ADC 中，AD=5，AC=7，DC=3， 由余弦定理得 cosADC=， ADC=120°，ADB=60° 在ABD 中，AD=5，B=45°，ADB=60°， 由正弦定理得， AB= 故答案为： 10有以下命题： 若函数 f（x）既是奇函数又是偶函数，则 f（x）的值域为0； 若函数 f（x）是偶函数，则 f（|x|）=f（x） ； 若函数 f（x）在其定义域内不是单调函数，则 f（x）不存在反函数； 若函数 f（x）存在反函数 f1（x） ，且 f1（x）与 f（x）不完全相同，则 f（x）与 f1（x）图 象的公共点必在直线 y=x 上； 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】函数 f（x）既是奇函数又是偶函数，则 f（x）=0利用偶函数的定义和性质判 断利用单调函数的定义进行判断利用反函数的性质进行判断 【解答】解：若函数 f（x）既是奇函数又是偶函数，则 f（x）=0，为常数函数，所以 f（x） 的值域是0， 所以正确 若函数为偶函数，则 f（x）=f（x） ，所以 f（|x|）=f（x）成立，所以正确 9 因为函数 f（x）=在定义域上不单调，但函数 f（x）存在反函数，所以错误 原函数图象与其反函数图象的交点关于直线 y=x 对称，但不一定在直线 y=x 上， 比如函数 y=与其反函数 y=x21（x0）的交点坐标有（1，0） ， （0，1） ， 显然交点不在直线 y=x 上，所以错误 故答案为： 11设向量=（1，2） ，=（a，1） ，=（b，0） ，其中 O 为坐标原点，a0，b0，若 A、B、C 三点共线，则+的最小值为 8 【考点】基本不等式 【分析】A、B、C 三点共线，则=，化简可得 2a+b=1根据 +=（+） （2a+b） ，利 用基本不等式求得它的