东北三省三校2019届高三第一次模拟考试数学试卷（理）附答案解析

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2019届高三第一次模拟数学试题（理）第卷一、选择题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是（ ）A. 4B. -4C. 2D. -2【答案】D【解析】复数= 所以虚部为-2故选D2.集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为可得，集合，所以故选B3.已知向量的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 所以故选C4.设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为是单调递减的，且，所以；又因为在是单调递增的，所以综上，故选A5.等差数列的前项和为，且，则（ ）A. 30B. 35C. 42D. 56【答案】B【解析】因为是等差数列，所以，所以公差 ， 根据求和公式 故选B6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）A. 30种B. 50种C. 60种D. 90种【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有 若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有所以共有种故选B7.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为4，第二次输入的的值为5，记第一次输出的的值为，第二次输出的的值为，则（ ）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】当输入x的值为4时，第一次不满足 ，但是满足x能被b整除，输出；当输入x的值为5时，第一次不满足 ，也不满足x能被b整除，故b=3第二次满足 ，故输出则-1故选D8.如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设切点，所以切线方程，又因为过原点所以解得 所以点P 因为与轴在围成的面积是 则阴影部分的面积为 而矩形的面积为 故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 故选A9.已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】对于答案A：，得出与是相交的或是垂直的，故A错；答案B：，得出与是相交的、平行的都可以，故B错；答案C：，得出，再得出，故C正确；答案D: ，得出与是相交的或是垂直的，故D错故选C10.双曲线 的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】由题易知双曲线的右焦点，即 ， 点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知 所以周长为： 当点共线时，周长最小即解得 故离心率 故选D11.各项均为正数的等比数列的前项和，若，则的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】C【解析】因为，且等比数列各项均为正数，所以 公比首项 所以 ，通项 所以 当且仅当所以当时，的最小值为8故选C12.中，中，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题，以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立直角坐标系；设点，因为，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在AB的下方；当点D可能在直线AB的上方；直线BD的斜率；直线AD的斜率 由两直线的夹角公式可得： 化简整理的 可得点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分；此时CD的最短距离为： 当当点D可能在直线AB的下方；同理可得点D的轨迹方程：此时点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的下方，所以是圆在AB下方的劣弧部分；此时CD的最大距离为：所以CD的取值范围为第卷二、填空题13.已知满足约束条件：，则的最大值是_【答案】3【解析】满足约束条件：，可行域如图： 解得 由题，当目标函数过点A时取最大值，即 故答案为314.甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_【答案】乙【解析】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；故答案是乙15.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，则_【答案】【解析】因为为奇函数，所以 又因为是定义域为的偶函数，所以 即 所以的周期 因为 所以故答案为16.四面体中，底面，则四面体的外接球的表面积为_【答案】【解析】由题意，可得BCCD，又因为底面，所以ABCD，即CD平面ABC，所以CDAC取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径 故外接球的表面积 故答案为三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设函数.（1）当时，求函数的值域；（2）中，角的对边分别为，且，求的面积.解：（1） ， 函数的值域为 （2），即 由正弦定理， ， ， 18.世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：每周累积户外暴露时间（单位：小时）不少于28小时近视人数21393721不近视人数3375253（1）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（2）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？近视不近视足够的户外暴露时间不足够的户外暴露时间附:P0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为. （2）根据以上数据得到列联表：近视不近视足够的户外暴露时间4060不足够的户外暴露时间6040所以的观测值， 故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.19.如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，且侧面与底面互相垂直，为的中点，点在线段上，且，为棱上一点.（1）试确定点的位置，使得平面；（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.解：（1）在中，延长交于点，,是等边三角形为的重心 平面, 平面，,即点为线段上靠近点的三等分点 （2）等边中，交线为， 如图以为原点建立空间直角坐标系 点在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角.设,则，设平面的法向量 ，则即，取，则 又平面，, 则 ,又二面角为钝二面角，所以余弦值为 .20.已知椭圆：的左、右两个顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点与的连线斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线.（1）当时，求曲线的方程；（2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.解：（1）设 ，则，因为，则 所以， 整理得 . 所以，当时，曲线的方程为 . （2）设. 由题意知，直线的方程为：，直线的方程为：.由（）知，曲线的方程为 ， 联立 ，消去，得，得 联立，消去，得，得 设 则在上递增又，的取值范围为21.已知（为自然对数的底数），.（1）当时，求函数的极小值；（2）当时，关于的方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围.解：（1）当时，令解得 递减极小值递增 （2）设，令，设，由得，在单调递增，即在单调递增，当，即时，时，在单调递增,又，此时在当时，关于的方程有且只有一个实数解. 当，即时，又故，当时，单调递减，又，故当时，在内，关于的方程有一个实数解. 又时，单调递增，且，令，,故在单调递增，又故在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，.故当时，的方程有两个解为和综上所述：当时的方程有且只有一个实数解22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.解：（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为： 所以曲线C的极坐标方程： （2）直线的方程为，的参数方程为为参数)， 然后将直线得参数方程代入曲线C的普通方程，化简可得： ， 所以故解得23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设实数为（1）中的最大值，若实数满足，求的最小值.解：（1）因为函数 恒成立，解得 ；（2）由第一问可知，即 由柯西不等式可得：化简： 即当且紧当：时取等号，故最小值为18