群论 第1章 群论基础(1)

目录 第 1 章群论基础1 1.1基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1.1群的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1.2群的乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1.3群的生成元. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.1.4更多例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.1.5半群, 环和域* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2群的分拆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.2.1集合的分拆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.2.2共轭类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.2.3子群和陪集. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.2.4Lagrange定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.2.5不变子群和商群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.2.6双陪集*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.3群的分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.3.1同态和同构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.3.2同态基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 1.3.3其它的同态定理* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1.4群在集合上的作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.4.1置换群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.4.2置换可表示为轮换的乘积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 1.4.3置换群的共轭类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 1.4.4置换表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 1.4.5轨道. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 1.5群的直积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 1.5.1直积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 1.5.2半直积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 1.6有限群的分类定理* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 1.6.1Abel群的分类. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 1.6.2非Abel群的分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 1.6.3小阶群表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 参考文献25 文件生成时间: 2013年9月28日 试用讲义. 请不要在网上传播. 第 1 章群论基础 §1.1基本概念 §1.1.1群的定义 定义 1 (群)设G是一些元素的集合, G = g,h,···. 在G中已经定义了二元运算·, 如果G对这种运算满足以下四个条件, 封闭: f,g G,f · g G; 结合律: f,g,h G,(f · g) · h = f · (g · h); 存在唯一的单位元素: e G,f G,ef = fe = f; 有逆: f G,唯一的f1 G,f · f1= f1· f = e, 则称代数结构(G,·)是一个群, 二元运算“·”称为群的乘法. 二元运算是一种映射, : G × G 7 G, (f,g) = hf · g = h. 在不引起歧义的情况下, 我们会省略乘法符号. 群G的元素个数称为群的阶(order), 记为|G|. 根据群的元素个数, 可以将群分为有限 群(元素的数目有限)和无限群(元素的数目无限). 在无限群中, 连续群可以用一个或多个 实参数来标记群的元素. 另一种对群的分类方式, 是按照群的乘法是否可以交换位置. 定义 2 (Abel群)G是群, 并且满足 a,b G,ab = ba,(1.1.1) 则称群G是Abel群. Abel群的乘法一般又称为加法. 例 1实数的集合按数值加法运算(R, +)构成Abel群. 例 2非零实数的数值乘法(R0, *)构成Abel群. 例 3n-维非奇异复矩阵按矩阵乘法构成非Abel群GL(n, C). §1.1.2群的乘法 有限群的乘法规则可以用乘法表来表示. 一元群e的乘法规则为ee = e. 对于二元群G = e,a, 有ee = e,ea = a,ae = a. a2 def = aa有两种可能, a2= e; ·2·第 1 章群论基础 ea eea aae 表 1.1: 二元群的乘法表 eab eeab aabe bbea 表 1.2: 三元群的乘法表 a2= a, 两边同时乘以a1, 得a = e. 于是可得乘法表 1.1. 三元群G = e,a,b的乘法规则同样可以用定义群的四个条件确定. 其中a2有三种可 能, a2= e, 则 ab = e b = a1= a, ; ab = a b = e, ; ab = b a = e, . a2= a a = e, . a2= b,ab = e,ba = e,b2= a. 所以三元群只有一种, 其乘法表列于表 1.2 中. 很明显, 以这种方式来确定乘法表非常不方便. 后面讲述的一系列定理将帮助我们有 效地研究群的性质. 从刚才的乘法表中可以看出, 群的各个元素在每一行都出现了一次, 在每一列中也出 现了一次. 这是一个普遍性质. 先引进一些记号. 设G是群, a G, A G, B G, aA def = ax|x A ,(1.1.2) Aa def = xa|x A ,(1.1.3) A1 def = x1|x A ,(1.1.4) AB def = xy|x A,y B .(1.1.5) 定理 1 (重排定理)群G的乘法表的每一行(或列)都含有所有元素, 只是排列顺序改 变了: a G, aG = G,Ga = G.(1.1.6) 证明G封闭 g G,ag G aG G. 同样可得a1 G,a1G G,G aG. 故aG = G. 重排定理 (1.1.6)对所有的群都成立, 包括无限群. §1.1基本概念·3· 连续群的乘法无法列表, 例如 U(1) def = g()|g() def = ei, 0,2 (1.1.7) 其乘法规则为 g(3) = g(1)g(2),(1.1.8) 3= 1+ 2mod 2(1.1.9) 其中 (1,2) = 1+ 2mod 2(1.1.10) 称为连续群的结合函数, 相当于有限群的乘法表. §1.1.3群的生成元 先来看一类特殊的有限群. 定义 3 (循环群) Cn def = e,g,g2,··· ,gn1|gn= 1.(1.1.11) 其中gk表示k个g相乘. 循环群的所有元素都可以由g自乘得到, 所以我们把它称为循 环群的生成元, 并记成 Cn= g|gn= e.(1.1.12) 一般的群可能有多个生成元, 这些生成元的集合称为群的生成元组. 例如 G = p,q|p3= e,q2= e,(qp)2= e(1.1.13) 有2个生成元, 生成元的乘法满足如下的“对易关系”, (qp)2= q(pq)p = e pq = q1p1= qp2,(1.1.14) 于是, 生成元的任意乘积可以写成标准的形式qmpn, 从而|G| = 6. 群的乘法见表 1.3. epp2qqpqp2 eepp2qqpqp2 ppp2eqp2qqp p2p2epqpqp2q qqqpqp2epp2 qpqpqp2qp2ep qp2qp2qqppp2e 表 1.3: p,q群的乘法表 eabcdf eeabcdf aaedfbc bbfedca ccdfeab ddcabfe ffbcaed 表 1.4: D3群的乘法表 对有限群, 必有 g G,n,m N,n m,gn= gm.(1.1.15) 记k def = n m N, 那么 gk= e,(1.1.16) 称使上式满足的最小自然数k为元素g的阶. 有限群的生成元的数目是有限的, 其中最小的数目称为有限群的秩(rank). ·4·第 1 章群论基础 §1.1.4更多例子 例 4 (正三角形的对称群)D3= e,a,b,c,d,f, 如图 1.1 所示, 乘法规则列于表 1.4 e不动, a绕1轴转180, b绕2轴转180, c绕3轴转180, d绕z轴逆时针转120, f绕z轴逆时针转240. O x y 23 1 A BC 图 1.1: 正三角形的对称群 中. 例 5 (四元群)除了循环群C4外, 还有一个四元群反演群(Klein群)V4, 其乘法规则 如表 1.5 所示. 其中P