量子力学基础习题课send

量子力学基础量子力学基础 2015. 4. 16 结构化学习题课 REVIEW “紫外灾难” 量子力学基本假设 箱中粒子的Schrö dinger方程 - 能量量子化 - 光电效应 - 波粒二象性 - 不确定度关系 波函数 算符 本征方程 态叠加 Pauli原理 金属钾的临阈频率为 ，如用它作为光电池的阴极，当 用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射的光电子的最大速度 是多少？ 141 5.464 10 s 根据光电效应的公式 k hWE 2 0 v / 2 e hm 1 0 41 5.464 10 s 8 151 9 3 10 300 1 / 1.0 10 0 mc m s s 341514 0 31 2 ()2 6.626 10(105.464 10 ) 9.1 10 /v e h m s m 5 8.127 10/m s 光子的频率 解：解： 其中 因此电子的最大速度为 对一个运动速度 (光速)的自由粒子，有人进行了如下推导： 结果得到了 的结论。上述推导错在何处？ vc v vv 1 v2 hh mm E p vv/ 2mm u 波的传播速度（相速度） v粒子的运动速度（群速度） 速度 频率 v2u 解：解： 第步为经典力学公式，正确 第步为实物粒子的德布罗意关系式，正确 第步为波动力学公式，存在概念混淆，错误错误 用不确定度关系说明用光学光栅(周期约为10-6m)观察不到电子衍 射(用10000V电压加速电子) 。 6 10xm x e y 3119 212 9.1 1.6 10100/000 ey pm eVkg m s 34 28 6 6.626 10 6.626 10/ 10 x h kg m skg m sp x arctan(/)0 xy pp 可以看出，电子经光栅衍射后落到同一点上， 因此观察不到电子衍射现象 x p y p 解：解： 电子位置的不确定度约为光栅的周期， 即： 根据不确定度关系表达式可知 又 23 5.4 10/kg m s 由图知 一个粒子的某状态波函数为 ， 为常数， 证明 满足不确定度关系。 2 1/4 2 ( ) x xe ,x x x p 22 22 , xxx xxxppp 证明：证明： 由标准差的定义知： 22 22 22 11 *2 44 2222 22 22 22 ( )( )()() 221 () 4 21 () 44 211 424 xx xx xx x xx dxeedx x edxxde x x eedx xx 另外物理量的平均值为 * AAd 2 / x edx 附：题中需用到高斯积分 于是 22 22 222 22 22 2*22 22 2 222 22222 2 ( )() ( )() 2 ( 2) 2 ( 24) 2 24 () xx xx xxx xx dd pxx dxeedx dxdx d exedx dx eex edx edxx edx 2222 2 21 24 () 224 ()xx 2 *2 2 ( )( )=0 x x xx dxxedxx 被积函数 为奇函数 2 2 2 2 1 4 xxx ppp 22 22 * 2 ( )() ( )() 2 ( 2)=0 xx xx dd pxix dxieedx dxdx iex edx 被积函数 为奇函数 1 42 x p 因此 满足不确定度关系 1212 ) A(AA * 1212 A(A)dd 线性算符 厄米算符 12 12 () ddd dxdxdx * 1212 d d dx xd * 1221 |d * * 11 22 ()d dd xdx dxdx 分步积分分步积分 平方可积 0 因此 为线性非厄米算符。 d dx 解：解： 线性厄米算符要满足如下两个表达式： （1）很明显地 然而 2 2 (1)(2)(3)(4) x d xye dx 判断下列算符是否是线性厄米算符： （2） 222 2 222 = xyz 222 222 yxz 以为例进行证明，及同理可得 2 12 1 22 222 2 () ddd dxdxdx * 22 1211 * * 2211 12 * 11 22 * 1 2 2 2 2 ()() () ()( dddd d dxdxdxdx dddd dxd dxdxdxdx dd d dxdx dxd dd dx dxd x x 1 2 * 2 ) d dx dx 2 故为线性厄米算符 应用波函数单 值连续及平方 可积的条件 （3） 121212 121221 (+ ( ( ) ) xy xxy xy xyxyy * 2221 * 11 ()xyxxydddy 坐标算符 为实数 ()xy故为线性厄米算符 （4） 222 1212 )( xxx eee 222 * 22 * 1121 )( =() xxx dxdxdeexe 2 x e故为线性厄米算符 sin , xx 总结：对坐标算符进行实数运算后的算符仍为线性算符， 如等，但求导运算可能不为实数运算。 2 ax xe 2 22 2 4() d a x dx 是算符 的本征函数，求其本征值。 AC 22 22 22 2 22 2 23 22 ()444() axax dd a xxea x e dx d a x ddxx 解：解： 根据量子力学基本假设III，若算符 ， 那么常数C就为该算符的本征值。 222 223 (2)4 axaxax ax d eea x e dx 2222 2323 424(4) axaxaxax eea x exaxaxae 2 ()66)( ax a xea 因此，本征值为-6a。 若 是算符 （B为常数）的本征函数 ， 试求 值，并求其本征值。 2 x e 222 /ddxBx 222 22 222 22 22 22 22 2 222 22 () ( 2) 24 2(4) () xxx xx xxx xx dd BxeeBx e dxdx d xeBx e dx ex eBx e eB x e 解：解： 22 2 2 2 () xx d BxeCe dx 由题意知： 2CB 两式对比可得 2 40 2 B B 本征值 已知封闭的圆环中粒子的能级为 式中n为量子数，R是圆环的半径。若将此能级公式近似地用于苯 分子中的 离域 键，取R=140pm，试求其电子从基态跃迁到 第一激发态所吸收的光的波长。 6 6 22 22 0,1,2,3, 8 n n h En mR HOMO(n=1)LUMO(n=2) 21 /EEhcE 22 7 8 2.125 10 3 e m cR m h 解：解： 由题中能级公式知，除n=0之外，其他能级简并度均为2。 根据泡利不相容原理，能级En最多只能容纳两个电子，因 此基态时6个电子分别排布在n=0，n=-1及n=1上，于是第一 激发态对应的跃迁如下： 函数 是否是一维势箱中粒 子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多 少？若无，求其平均值。 222 ( )2sin3sin()() xx x aaaa 22 2 2 ( )sin1, 2, 3, 8 (), nn n xn h xEn aama 12 ( )2( )3( )xxx 解：解： 首先写出一维箱中粒子波函数及能级的表达式，分别为： 对比可知 根据态叠加原理知，线性组合态也是粒子的可能状态。 要弄清楚能量是否有确定值，就是要求解函数 是否 为哈密顿算符的本征函数，即 ( )x ( )( )HxCx 12 2( )(3()HxHxx 2 * 2 * | ( )( ) |( ) ( ) nn n n n cE x Hx dx E cxx dx 2 12 2 495 4913 EEh ma 而 根据求解平均值的通式（归一或未归一）可知 1212 2E( )3( )xxExC 故此时能量无确定值，只能求解其平均值。 即能量的平均值为 。 2 2 5 13 h ma 0 a设粒子处在 范围内的一维无限深势阱中运动，其状态可用波 函数 表示，试估算： （1）该粒子能量的可能测量值及相应的概率； （2）能量平均值。 2 4 ( )sincos()() xx x aaa 2 4 sino(s)c()() x x x aaa 2 1 cos 4 sin 2 () () x x a aa sin 3/sin/22 sin 2 ()() () x ax ax aaa 113 sinsin()() xx aaaa 13 11 22 解：解： （1）根据题意将波函数 展开成一维箱中粒子能量本 征态 的线性组合，具体如下：