量子力学基础习题课send
20页1、量子力学基础量子力学基础 2015. 4. 16 结构化学习题课 REVIEW “紫外灾难” 量子力学基本假设 箱中粒子的Schr dinger方程 - 能量量子化 - 光电效应 - 波粒二象性 - 不确定度关系 波函数 算符 本征方程 态叠加 Pauli原理 金属钾的临阈频率为 ,如用它作为光电池的阴极,当 用波长为300nm的紫外光照射该电池时,发射的光电子的最大速度 是多少? 141 5.464 10 s 根据光电效应的公式 k hWE 2 0 v / 2 e hm 1 0 41 5.464 10 s 8 151 9 3 10 300 1 / 1.0 10 0 mc m s s 341514 0 31 2 ()2 6.626 10(105.464 10 ) 9.1 10 /v e h m s m 5 8.127 10/m s 光子的频率 解:解: 其中 因此电子的最大速度为 对一个运动速度 (光速)的自由粒子,有人进行了如下推导: 结果得到了 的结论。上述推导错在何处? vc v vv 1 v2 hh mm E p vv/ 2mm u 波的传播速度(相速度) v粒子的运动速度(群
2、速度) 速度 频率 v2u 解:解: 第步为经典力学公式,正确 第步为实物粒子的德布罗意关系式,正确 第步为波动力学公式,存在概念混淆,错误错误 用不确定度关系说明用光学光栅(周期约为10-6m)观察不到电子衍 射(用10000V电压加速电子) 。 6 10xm x e y 3119 212 9.1 1.6 10100/000 ey pm eVkg m s 34 28 6 6.626 10 6.626 10/ 10 x h kg m skg m sp x arctan(/)0 xy pp 可以看出,电子经光栅衍射后落到同一点上, 因此观察不到电子衍射现象 x p y p 解:解: 电子位置的不确定度约为光栅的周期, 即: 根据不确定度关系表达式可知 又 23 5.4 10/kg m s 由图知 一个粒子的某状态波函数为 , 为常数, 证明 满足不确定度关系。 2 1/4 2 ( ) x xe ,x x x p 22 22 , xxx xxxppp 证明:证明: 由标准差的定义知: 22 22 22 11 *2 44 2222 22 22 22 ( )( )()() 221 () 4 2
3、1 () 44 211 424 xx xx xx x xx dxeedx x edxxde x x eedx xx 另外物理量的平均值为 * AAd 2 / x edx 附:题中需用到高斯积分 于是 22 22 222 22 22 2*22 22 2 222 22222 2 ( )() ( )() 2 ( 2) 2 ( 24) 2 24 () xx xx xxx xx dd pxx dxeedx dxdx d exedx dx eex edx edxx edx 2222 2 21 24 () 224 ()xx 2 *2 2 ( )( )=0 x x xx dxxedxx 被积函数 为奇函数 2 2 2 2 1 4 xxx ppp 22 22 * 2 ( )() ( )() 2 ( 2)=0 xx xx dd pxix dxieedx dxdx iex edx 被积函数 为奇函数 1 42 x p 因此 满足不确定度关系 1212 ) A(AA * 1212 A(A)dd 线性算符 厄米算符 12 12 () ddd dxdxdx * 1212 d d dx xd * 1221 |d *
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