力学习题解答(漆安慎)

力学习题解答 石河子大学师院物理系 殷保祥 编写 力学习题解答 1 目 录 第 02 章 质点运动学01 第 03 章 动量定理及其守恒定律11 第 04 章 动能和势能24 第 05 章 角动量及其规律34 第 06 章 万有引力定律38 第 07 章 刚体力学41 第 08 章 弹性体的应力和应变52 第 09 章 振动56 第 10 章 波动64 第 11 章 流体力学71 力学习题解答 1 第二章基本知识小结 基本概念 2 2 )( dt rd dt vd a dt rd vtrr vv v v vvv = )()()(tatvtr vvv （向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初 始条件： 000 ,vvrrtt vvvv =） 直角坐标系 , 222 zyxrkzj yi xr+=+= v r v 与 x,y,z 轴夹角的余弦分别为 rzryrx/,/,/. vvvvvkvjvivv zyxzyx vv , 222 +=+=与 x,y,z 轴夹 角的余弦分别为 vvvvvv zyx /,/,/. aaaaakajaiaa zyxzyx vv , 222 +=+=与x,y,z轴夹 角的余弦分别为 ./,/,/aaaaaa zyx 2 2 2 2 2 2 , , dt zd dt dv a dt yd dt dv a dt xd dt dv a dt dz v dt dy v dt dx v z z y y x x zyx = = ),(),(),( zyxzyx aaavvvzyx 自然坐标系 |, , );( vv dt ds vvvsrr= vrv 2 2 2 22 , , v a dt sd dt dv aaaanaaa nnn =+=+= r )()()(tatvts 极坐标系 22 , , vvvvrvvr rr rr +=+= vr dt d rv dt dr vr =, 相对运动 对于两个相对平动的参考系 ', 0 ' ttrrr=+= vrv （时空变换） 0 ' vvv vvv += （速度变换） 0 ' aaa rrr += （加速度变换） 若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示 情况下，则有： zzyyxx zzyyxx aaaaaa vvvvVvv ttzzyyVtxx = = = ',',' ',',' ',',',' 2.1.1 质点运动学方程为：jitr 5 )23(+= v jtitr ) 14( )32(+= r ,求质点轨迹并用图表示. y y' V o x o' x' z z' 力学习题解答 2 解：, 5,23=+=ytx轨迹方程为5=y的直线. 14,32=tytx，消去参数 t 得轨迹方程0534=+ yx 2.1.2 质点运动学方程为kjeier tt 2 22 += v .求质点轨迹； 求自 t= -1 到 t=1 质点的位移。 解：由运动学方程可知：1, 2, 22 = xyzeyex tt ，所 以，质点是在 z=2 平面内的第一像限的一条双曲线上运动。 jeeieerrr )( )() 1() 1 ( 2222 += vvv ji 2537 . 7 2537 . 7 +=。所以，位移大小： °= = °= = °= = =+=+= 900arccos | arccosz 45) 2 2 arccos( | arccosy 135) 2 2 arccos( | arccosx ,22537 . 7 2537 . 7 )2537. 7()()(| 2222 r z r y r x yxr v v v v 轴夹角与 轴夹角与 轴夹角与 2.1.3 质点运动学方程为jtitr )32( 4 2 += v . 求质点轨迹； 求质点自 t=0 至 t=1 的位移. 解：32,4 2 +=tytx，消去参数 t 得： 2 )3( = yx jijjirrr 2 4 3 5 4)0() 1 (+=+= rrr 2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为°= 7 . 33,4100 11 mR 0.75s 后测得°= 3 . 29,4240 22 mR，R1,R2 均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞 行方向（角） 解： t R t RR vv = = vvv vv 12 ，在图示的矢量 三角形中，应用余弦定理，可求得： m RRRRR 58.349 4 . 4cos42004100242404100 )cos(2 22 2121 2 2 2 1 = °××+= += smtRvv/ 8 . 46575. 0/58.349/= 据正弦定理：)180sin(/)sin(/ 1221 °=RR °=°° °=° 89.34,41.111180,931 . 0 58.349/4 . 4sin4240/ )sin()180sin( 1 2121 RR 2.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道 为 y=x2/200(长度：毫米)。第一次观察到圆柱体在 x=249mm处， 经过时间2ms后， 圆柱体移到x=234mm x y 5 x y 5/3 5/4 y x 0 x1x2 R 1 R1 R2 R 1 2 力学习题解答 3 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。 解：由于t 很小，所以， t r vv = v vv ， 其中，15249234, ,2 12 =+=xxxj yi xrmst v 2 . 36200/ )249234(200/ )( 22 2 1 2 212 =xxyyy jijtyitxv 1 . 18 5 . 7 )/( )/(=+ v 。其大小 msmmv/ 6 . 19) 1 .18()5 . 7(| 22 =+= v ；与 x 轴夹角 °= = 5 . 112)38265 . 0 arccos( 6 . 19 5 . 7 arccosarccos v vx 2.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者 17m；另一人在广 州听同一演奏的转播，广州离北京 2320km，收听者离收音机 2m， 问谁先听到声音？声速为 340m/s， 电磁波传播的速率为 3.0×108m/s. 解：声音传播情况如图所示， 北京人听到演奏声音所需时间： st05 . 0 340/17 1 = 广州人听到演奏声音所需时间： st0136 . 0 340 2 100 . 3 102320 8 3 2 + × × = 2.2.5火车进入弯道时减速， 最初列车向正北以90km/h速率行驶， 3min后以70km/h速率向北偏西30°方 向行驶，求列车的平均加速度。 解： t v t vv a = = vvv v 12 对矢量三角形应用余弦定理： smhkm vvvvv /69.12/69.45 37090709030cos2 22 21 2 2 2 1 = ×+=°+= 2 /07 . 0 603 69.12 sm t v a= × = =，由正弦定理： ° = 30sinsin 2 vv °×=°=50,766 . 0 69.45/5 . 070/30sinsin 2 vv 2.2.6 k tj tRi tRr 2 sin cos+= v ，R 为正常数，求 t=0,/2 时的速度和加速度。ktjti tr 6 5 . 4 3 32 += v ，求 t=0,1 时的速度 和加速度（写出正交分解式） 。 解：kj tRi tRdtrdv 2 cos sin/+= vv jRakiRv iRakjRvj tRi tRdtvda tt tt |, 2 | , |, 2 |. sin cos/ 2/2/ 00 =+= =+= = = vv vvvv k tjdtvdaktj tidtrdv 36 9/, 18 9 3/ 2 +=+= vvvv ； kjakjivjaiv tttt 36 9|, 18 9 3|, 9|, 3| 1100 +=+= = vvvv 2.3.1 图中 a、 b 和 c 表示质 17m 340m/s 2320km,3×108m/s 340m/s 2m v2 30° v1=90km/h v2=70km/h v 西 北 10 20 30 10 20 30° 45° 120° -10 -20 0 x(m) t(s) a b c 力学习题解答 4 点沿直线运动三种不同情况下的 x-t 图像，试说明每种运动的特点 （即速度，计时起点时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻） 解：质点直线运动的速度 dtdxv/=，在 x-t 图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因 此三种运动都是匀速直线运动，设直线与 x 轴正向夹角为，则速 度txtgv=/ 对于 a 种运动： stgtmxsmtgv xt 55.113020|,20|,/3120 00 =°=°= = 对于 b 种运动： stgtmxmstgv xt 32.1730/10|,10|,3/330 00 1 °=°= = 对于 c 种运动： mtgxstmstgv tx 254525|,25|,145 00 1 =°=°= = 2.3.2 质点直线运动的运动学方程为 x=acost,a 为正常数， 求质点 速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变 化情况等） 解：tadtdvatadtdxvtax xxx cos/,sin/,cos= 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围： aaaavaaxa xx , 2.3.3 跳伞运动员的速度为 qt qt e e v + = 1 1 ，v 铅直向下，,q 为 正常量，求其加速度，讨论时间足够长时（即 t）速度、加速度 的变化趋势。 解： 22 )1 ( 2 )1 ( )(1 ()1 ( ) 1 1 ( qt qt qt qtqttqtqt q